2022年高考數學理科全國乙卷有這麼一道關于正方體的選擇題，題目不是很難，而且出題人很友好，答案很容易就可以得到。不過這道題卻隐藏着兩個很麻煩的問題，如果你能夠發現并解決它們，将來數學的成績肯定會非常好的。

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E, F分别為AB，BC的中點，則

A. 平面B1EF⊥平面BDD1; B. 平面B1EF⊥平面A1BD;

C. 平面B1EF//平面A1AC; D. 平面B1EF//平面A1C1D

分析：這道題的一般解決方法，就是畫出草圖，用立體幾何的知識，結合空間想象力，分别判斷四個選項是否正确。結果第一個選項就是正确的。這也太容易了吧。

但是你要想想，以後的出題人，未必有這麼友好。如果把答案藏得越後，需要分析的問題就越多，雖然不算難，但會很耗費時間。關鍵是你也不知道出題人把答案設計在第幾個選項，應該先分析哪個選項啊。

因此，老黃就拓展出第一個難題。如果我們能夠把正方體中各個平面歸類總結，比如六個側面就很明顯。把側面上兩條平行的對角線所形成的面，稱為“平行對角線面”的話。可以發現，正方體是關于平行對角線面“體對稱”的。而且這樣的“平行對角線面”是兩兩互相垂直的。從而，如果一個平面，可以找到一條直線，與某一個“平行對角線面”互相平行，那麼，這個平面，就與另一個與該“平行對角線面”互相垂直的“平行對角線面”互相垂直。且這個平面在正方體内的部分是對稱圖形。累死老黃了！老黃就姑且稱之為“平行對角線面定理”吧。

比如A選項中的平面BDD1，其實就是一個“平行對角線面”，因為有一對平行的側面對角線BD和B1D1在這個面上。隻要連接B1D1就可以直觀地發現。而平面B1EF就是符合上面的定理所描述的那種平面，觀察圖形，很容易看出，平面BDD1就垂直于平面B1EF。

用立體幾何的知識分析A選項的過程是：因為BB1⊥EF, 且DB⊥EF, 所以EF⊥平面BDD1,從而平面B1EF⊥平面BDD1. 雖然這也很容易，但如果能歸納出“平行對角線面定理”，結合空間想象力，甚至一眼就可以看出，A選項是正确的。不過正方體上的其它平面的歸類，以及性質探究，老黃暫時還沒辦法全部完成。

老黃在畫圖之前，就嘗試用空間想象力，想象出了上面這種情形，并很快确定了答案就是A，并不需要作圖去探究。當然，每個人在數學上的感覺不同，需要作圖時，還是要作圖的。比如，老黃就想象不出選項B的情形，甚至做了圖也很難分析清楚。

因此這道題隐藏的第二個難題，就來自B選項。直觀可以看出B選項的草圖中，平面B1EF和平面A1BD是不互相垂直的。特别是結合A選項，就更清楚了。但是問題來了，你要怎麼用數學的方法，證明它們不互相垂直。這個問題老黃想了很久。雖然題目的答案已經得到，但對數學的探究，可不能因為答案的得到而戛然而止哦。為此老黃做了下面這個圖，來幫助證明：

易證平面EE1F1F⊥平面A1BD, 因為平面EE1F1F與“平行對角線面”ACC1A1平行，而三角形A1BD符合“平行對角線定理”，與“平行對角線面”ACC1A1互相垂直，因此平面EE1F1F⊥平面A1BD。

平面EE1F1F∩平面B1EF=EF，若平面B1EF⊥平面A1BD, 則EF⊥平面A1BD, 不成立! 這裡運用了一個定理：若兩個平面同時垂直于第三個平面，那麼這兩個平面的交線垂直于第三個平面。老黃所有的定理都是即時蒙出來的。歡迎你來證明老黃“瞎蒙”的定理是錯誤的。而且它的逆命題也是成立的。

所以這道簡單的選擇題中，隐藏的兩個“難題”，第一個老黃隻解決了一部分，第二個就被老黃解決了。因為第一個才是真正的難題。

C選項就特别簡單了，因為直線AA1和B1E有交點，兩個平面與第三個平面的兩條交線有交點，這樣的兩個平面就不可能互相平行。這個定理是顯而易見的。但其逆命題并不成立。

D選項就還稍有點麻煩。因為從上圖很能“蒙”出一個定理來直接說明它們不互相平行。因此需要做輔助線如下，就是做出一個“平行對角線面”BDD1B1，連接下底面的中點O1和D，以及B1和EF的中點M.

與C選項的分析同理，如果兩個平面互相平行，那麼就必有DO1平行于B1M，這顯然是不成立的，所以D選項也錯誤。

學習數學，應該注重知識本身，什麼難不難，易不易的，就不要過多去考慮了，正所謂“天下數學，有難易乎？學之，難者亦易矣；不學，則易者亦難矣”。

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