極限的運算法則，主要是建立四則運算法則和複合函數的極限運算法則，利用這些法則，可以求某些函數的極限。

證明：設α及β是當x->x0的兩個無窮小，而γ=α β， ∀ ε>0, 因為α是當x->x0時的無窮小，對于ε/2>0,∃δ1 > 0, 當0<|x-x0|<δ1時，不等式|α|<ε/2成立，又因β是當x->x0時的無窮小，對于ε/2>0, ∃δ2 > 0, 當0|x-x0|<δ2時，不等式 |β|<ε/2成立，取δ=min{δ1,δ2|, 則當0<|x-x0|<δ時，|α|<ε/2及|β|<ε/2同時成立，從而|y|=|α β|≤|α| |β|≤ε/2 ε/2=ε, 所以γ也是當x->x0時的無窮小。

推論：有限個無窮小之和也是無窮小。

證：設函數u在x0的某一去心領域U(x0, δ1)内是有界的，即∃ M>0，使|u|≤M對一切x∈U(x0, δ1)成立，又設α是當x->x0時的無窮小，即 ∀ε>0, ∃δ2>0，當x∈U(x0, δ2)時，有|α|<ε/M。

取δ=min{δ1, δ2}, 則當x∈U(x0, δ)時，|u|≤M 及 |α|<ε/M同時成立，從而|uα|=|u| * |α|<M * ε/M = ε, 所以u * α是當x->x0時的無窮小。

推論1 常數與無窮小的乘積是無窮小

推論2 有限個無窮小的乘積是無窮小

1 lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x)±lim g(x) = A±B;

2 lim[f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x) = A * B;

3 如果B≠0， 則lim(f(x) / g(x)) = limf(x) / lim g(x) = A/B

推論1 如果lim f(x) 存在，而c為常數，那麼 lim [c * f(x)] = c lim f(x). 就是說，求極限時，常數因子可以提到記号的外面，這是因為lim c = c;

推論2 如果lim f(x)存在，而n是正整數， 那麼lim [f(x)]^n = [lim f(x)]^n，這是因為 lim[f(x)]^n = lim[f(x) * f(x) * ... * f(x)] = lim f(x) * lim f(x) * ... * lim f(x) = [lim f(x)] ^ n。

證 令t(x)=f(x)-g(x), 則t(x)≧0, 有lim t(x) = lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x) = A-B， 所以A-B≥0 => A≥B

設函數y=f[g(x)]是由函數u=g(x)與函數y=f(u)複合而成f[g(x)]在點x0的某去心領域内有定義，若lim g(x) = u0(x->x0), lim f(u)=A (u->u0), 且存在δ0>0,當x∈U(x0, δ0)時，有g(x)≠u0, 則lim f[g(x)]=lim f(u) = A。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!