我們先沿着李老師的思路走，來看看這個方法的本質是什麼。任意給三角形ABC，取AC中點G，AB中點F。延長BG到E使得BG=GE，延長CF到D使得DF=CF。根據“邊角邊”的判斷原理，有三角形AGE和BGC全等，DFA與FBC全等。那麼角DAB等于角ABC，角EAC等于角ACB，于是要證明三角形内角和為180度，等價于證明DAE共線(因為平角是180度)。我查看了一下幾何原本，證明全等三角形“邊角邊”判定法則，隻需要用到公設和公理(第一卷命題4，以及第一卷命題15證明的對頂角相等)。因此按照李永樂老師那樣，歸結到證明共線是沒有問題的。

為了證明AED共線，隻要用内錯角相等得到DA和AE都與BC平行。我查看了幾何原本，證明内錯角相等，兩直線平行(第一卷命題27)，用的是反證法，歸結于與“外角大于不相鄰内角”的結論矛盾。見下圖，如果角1等于角2，AB不平行與CD，那麼它們一定相交，不妨設在右邊相交，交于E，這樣右邊形成一個三角形，角1是它的外角，角2是角1不相鄰内角。

有人懷疑外角大于不相鄰内角，用到了三角形内角和是180度的結論，其實不然。幾何原本第一卷命題16，就是證明外角大于不相鄰内角的，通過延長邊構造全等三角形(“邊角邊”判定)證明。我們從直覺上也能察覺，得到大于關系要比得到等于關系更加容易。

幾何原本第一卷命題32證明了三角形内角和為180度，用的是第五公設，和平行直線内錯角相等(第一卷命題29):

已知三角形ABC，過A有唯一一條直線AD與BC平行，由于内錯角相等，于是根據平角是180度，證完。

但是李老師證明三點共線，是用的解析幾何方法。把三角形放到直角坐标系中，然後檢驗DAE是不是在直線方程上面。設B=(0，0)，C=(a，0)，其中a=BC，而A=(x1，y1)。那麼F=(x1/2，y1/2)，G=((x1 a)/2，y1/2)。然後得到D=(x1-a，y1)，E=(x1 a，y1)，這樣A，D，E顯然在y=y1直線上。我們看出，不管是得到點D，E，F，G的坐标，還是驗證AED是直線，都隐含利用了全等和相似三角形的邊角關系。而李老師為了說明他的例證法啊，強行的繞了個彎，用了個用反證法(演繹中也隻有反證過程才可以舉例子)。因為ADE的坐标都是關于x1，y1一次的，現在假設存在某x1，y1使得A，D，E不共線，那麼用ADE三點列出的直線式子f(x1，y1)=0(三點法)不恒成立。這個時候，f(x1，y1)一定是一個一次多項式而不是0多項式，那麼根據代數基本定理，不可能存在四個不同的(x1，y1)滿足f(x1，y1)=0。現在李老師舉出了四個例子，說明反證的假設不成立。但是，很顯然，我們完全可以直接用ADE坐标寫出f(x1，y1)是0多項式，根本沒必要使用反證法。

綜上所述，李老師所謂的例證法隻是演繹法中反證過程的舉例子，并不是他口中的歸納法。歸納法也分為數學歸納法和自然科學中的歸納法。數學法歸納法是Peano公理體系下的一條公理，和反證法的舉例子毫無關系。數學是形而上學，所有的定理都是蘊含在公理中，而公理本來就是無法被證明的一種假設。在幾何公理下得出的一切定理推論，都不會比公理多出任何的信息，因此你完全可以繞過三角形内角和180度，而始終用它的等價命題或包含它的命題去論述，最終規約到反證的幾個例子上(這就是機械證明的思想)。我的觀點是，這樣的數學證明沒有太大的理論意義，隻是表現在建立演繹框架的先後順序罷了。我們完全可以用一個等價命題去證明另外一個等價命題，也可以反過來。而自然科學中的歸納法是真正獲取新知識的方法，它通過在自然界收集資料，概括知識，最終用一個演繹體系表示(公理)，然後用數學方法得到定理。但這個演繹體系不一定自恰，隻要存在一個反例就可以被推翻。而任意一個自恰的數學體系都不能代表大自然真實規律，隻能被認為是一種建模或近似，因為數學中的概念是理想的，形而上學的。在現實中，我們驗證不了平行線不相交，也甚至都找不到一個真正的三角形。

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