角的平分線,是初中階段一條十分重要的線,它是幾何圖形的一條綜合線,既可以通過它計算出角的大小,也可以通過角平分線的性質定理求證出邊相等,從而進行有關于邊相等的證明問題及等量代換等運用。
那麼,角的平分線的性質是什麼呢?角的平分線上的任意一點到角的兩邊的距離相等,這就是角的平分線的性質。這個性質裡主要有兩點是關鍵的,一是點要在角平分線上;二是該點到角兩邊的垂線段才會相等。全等三角形這一單元裡,角平分線作為一種特殊的存在,與三角形的全等證明息息相關。
三角形的全等的求證過程中,既可以借助角平分線,利用其平分角的能力,找出大小相等的兩個角(A);又可利用角平分線的性質,找到其上一點到角兩邊相等的兩條垂線段,為全等創作了邊(S)相等的條件。從而使全等三角形的證明條件充足,能夠順利進行。
角平分線同時具備平分角和得到邊相等的性質,其作用是十分廣泛的。所以,必須理解和掌握角平分線的性質, 會利用這個性質進行計算與證明。還要求能将角平分線與三角形的全等證明結合起來綜合運用。
接下來,我們便結合全等三角形的一些證明内容與方法,以一些題目來分析角平分線的性質運用。
【分析總結】利用角平分線求長度問題,是角平分線最常見的題型,也是小題中最常考的類型。先要理解角平分線的有關性質内容,然後再結合題目圖形找出正确的相等的兩邊(即是兩條垂線段),就可以進行下一步邊的求解了。
【分析總結】題目(5)利用角平分線來求角度,主要是把握好“将大角平分成兩個小角”這一技巧點。而題目(6)是要求掌握角平分線的作圖方法與步驟,最終根據作圖确定AM平分∠BAC,再利用角平分線的性質來求解。
【分析總結】三角形的全等判定證明是離不開邊的,而角平分線的性質恰好是判定線段相等的重要依據,可以給判定三角形全等提供邊相等的關鍵條件。
【分析總結】根據角平分線的性質,可以獲得兩條“垂線段”相等,這是角平分線的性質運用在全等判定的一個重要體現。在角平分線性質的運用的基礎上,通過相等線段之間的相互轉化進行證明,還需要進一步地加強鞏固和練習。最終以求達到熟練掌握角平分線性質的知識要點,能在幾何圖形的求解中運用自如的目的。
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