最新考綱　

1. 結合具體函數，了解函數奇偶性的含義；

2. 會運用函數的圖象理解和研究函數的奇偶性；

3. 了解函數的周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數的周期性．

知 識 梳 理

1．函數的奇偶性

2.函數的周期性

(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域内的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那麼就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．

規律方法　

判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系．

在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數)是否成立．

考點二　函數奇偶性的應用

規律方法

(1)已知函數的奇偶性求參數，一般采用待定系數法求解，根據f(x)±f(x)＝0得到關于待求參數的恒等式，由系數的對等性得參數的值或方程(組)，進而得出參數的值．

(2)已知函數的奇偶性求函數值或解析式，首先抓住在已知區間上的解析式，将待求區間上的自變量轉化到已知區間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式或函數值．

考點三　函數的周期性及其應用(變式遷移)

規律方法

(1)根據函數的周期性和奇偶性求給定區間上的函數值或解析式時，應根據周期性或奇偶性，由待求區間轉化到已知區間．

(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數，且a≠0)，則2a為函數f(x)的一個周期．

考點四　函數性質的綜合運用

規律方法　

(1)函數單調性與奇偶性的綜合．注意函數單調性及奇偶性的定義以及奇、偶函數圖象的對稱性．

(2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，将所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域内求解．

(3)單調性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區間，然後利用奇偶性和單調性求解．

1．幂函數

(1)幂函數的定義

一般地，形如的函數稱為幂函數，其中x是自變量，α為常數．

(2)常見的5種幂函數的圖象

(3)常見的5種幂函數的性質

2.二次函數的圖象和性質

[常用結論與微點提醒]

1．一元二次不等式恒成立的條件

2．二次函數表達式的三種形式

考點突破

考點一　幂函數的圖象和性質

規律方法　

(1)可以借助幂函數的圖象理解函數的對稱性、單調性；

(2)α的正負：當α>0時，圖象過原點和(1，1)，在第一象限的圖象上升；當α<0時，圖象不過原點，過(1，1)，在第一象限的圖象下降；

(3)在比較幂值的大小時，必須結合幂值的特點，選擇适當的函數，借助其單調性進行比較，準确掌握各個幂函數的圖象和性質是解題的關鍵．

考點二　二次函數的解析式

規律方法　

用待定系數法求二次函數的解析式，關鍵是靈活選取二次函數解析式的形式，選法如下：

考點三　二次函數的圖象與性質

規律方法　

解決二次函數圖象與性質問題時要注意：

(1)抛物線的開口、對稱軸位置、定義區間三者相互制約，常見的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類讨論；

(2)要注意數形結合思想的應用，尤其是給定區間上的二次函數最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍．

考點四　二次函數的應用(多維探究)

命題角度1　二次函數的恒成立問題

規律方法

(1)對于函數y＝ax2＋bx＋c，若是二次函數，就隐含着a≠0，當題目未說明是二次函數時，就要分a＝0和a≠0兩種情況讨論．

(2)由不等式恒成立求參數的取值範圍，常用分離參數法，轉化為求函數最值問題，其依據是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.

命題角度2　二次函數的零點問題

規律方法

(1)解本題的關鍵是抓住兩函數的圖象關于直線x＝1對稱，利用中點坐标公式求解，考查分類讨論、數形結合思想．

(2)涉及二次函數的零點常與判别式有關，常借助函數的圖象的直觀性實施數形轉化．

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