有人天真的人認為我們的世界在很多領域經常發生極端事件，在一些領域中也許存在這樣特别極端的例子，但是，其實很大一部分領域，極端現象都非常少，就像世界上沒有身高15米的人一樣，因為我們的世界大部分事物服從正态分布。

1. 正态分布的三個數學特性

“正态分布”這個詞，聽上去挺複雜，但它的英文叫normal distribution，直接翻譯過來就是“正常的分布”“一般的分布”，意思是其它分布都是特殊的，隻有正态分布是一般的、正常的。從名字上，我們也能感受到它的重要性。

有趣的是，正态分布不僅非常重要，而且還特别簡單。說起正态分布曲線，就是一條對稱的倒鐘形曲線，中間很高，兩邊下降，像個鼓起的小山。圖片就長這樣：

在正态分布的曲線圖裡，橫坐标代表随機變量的取值範圍，越往右，随機變量的值就越大。縱坐标，則代表概率的大小，最底下的概率是0，越往上概率越大。因為這條曲線是左右對稱的，所以中間的最高點，就代表平均值出現的概率最大，數據最多，而兩邊陡峭下降，就意味着越靠近平均值，數據越多，越遠離平均值，數據就越少。正态分布能給人充分的掌控感，每個案例相差都不會很大，通常翻不了天。

平均值和标準差就都可以用平時的流量數據統計出來。有了平均值和标準差你就可以大緻估算各種事件發生的概率：95%的事情都發生在兩個标準差之内，99.7% 的事情發生在三個标準差之内。有個極客說要找個美貌程度在兩個标準差之外的女朋友，那就意味着她要比 97.5%的人都漂亮。就像這個圖：

從上面的例子我們可以知道正态分布的三個特性：

一是均值就是期望。也就是正态分布曲線中間最高點的橫坐标，不僅代表随機變量的平均值，而且還等于它的數學期望，平均值也就代表随機事件的價值。

二是極端值很少。這有兩層含義：一是極端值出現的概率很低，二是極端值對均值的影響很小。也因此，正态分布是穩定的系統。

性質三：标準差決定胖瘦。前面講過，标準差就是方差的平方根，也能用來描述随機變量的波動情況。在正态分布中，标準差越大，數據的波動越劇烈，鐘形曲線就越矮胖，标準差越小，數據越集中，鐘形曲線就越高瘦。

2.決定正态分布的是中心極限定理

并不是所有随機事件都滿足正态分布，想要學會判斷什麼樣的事件滿足正态分布，需要了解“中心極限定理”。中心極限定理說，如果一個事件滿足下面這些條件，它的分布就是正态分布。

①　它是由多個（至少 20 個）随機變量相加的結果；

②　 這衆多的随機變量是互相“獨立”的，且每個随機變量的方差都隻有有限大；

③　起到決定性作用的因素也是多個。

中心極限定理的表達方式有好幾種，但核心的數學性質隻有一條——大量獨立的随機變量相加，無論各個随機變量的分布是怎樣的，它們相加的結果必定會趨向于正态分布。換句話說，正态分布是必然産生的。而這個證明源于嚴格的數學推導，是一定正确的。

3.正态分布是所有分布的參照系和世界的宿命

正态分布就像一個标準、一個參照系，服從正态分布，可以直接用它分析，不服從正态分布，也可以為人類指明繼續探索的方向。如果一個這個随機事件不服從正态分布，那它就一定不滿足正态分布背後的中心極限定理。而不滿足中心極限定理，我們就能知道，要麼是它的影響因素不夠多，要麼是各種影響因素不相互獨立，要麼是某種影響因素的影響力太大等，就給我們繼續探索指出了思路。

中心極限定理告訴我們，正态分布普遍存在。比如，影響人身高的因素很多，營養、遺傳、環境、族裔、性别等都有影響，這些因素的綜合效果就使人的身高服從正态分布。

所有的分布，不是正态分布，就是在變成正态分布的路上。信息論領域發現了“熵最大原理”，就是說，在一個孤立系統中，熵總是在不斷增大。正态分布就是所有已知均值和方差的分布中，信息熵最大的一種分布。

如果熵不斷增長是孤立系統确定的演化方向，那熵的最大化，所以就是孤立系統演化的必然結果。最終任何分布疊加最終都會形成正态分布，所以無論是對數分布還是幂律分布，無論是指數分布還是其他任何分布，隻要自身不斷演化，不斷自己疊加自己，最終也一樣會變成正态分布，好像冥冥中自有定數。

參考資料：

得到app《劉嘉·概率論22講》《萬維鋼·精英日課3》。

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