例1：1． 兩個自然數的最大公約數4，它們的最小公倍數的是120，那麼這兩個自然數的和可能是（ ）。（有多少填多少）

例2：兩個自然數的差是55，它們的最大公約數與最小公倍數的和是275，那麼這兩個自然數的和是（ ）。

給大家一點時間思考。

此類題很多同學都能做一點，但做的完全對的不多，因為在我們的思維中還沒有形成完整的推理邏輯，下面講解一下例題。

例1：

解：設兩個自然數為aq、bq（中間乘号省略、q為非0、1的自然數，a與b互質）

這樣設的好處：直接設出了最大公約數，即b，而最小公倍數也很容易表示：abq；

根據題目條件，我們知道q=4，abq=120，進而推出ab=30；

再考慮到a與b互質，可以知出下面幾組不同結果：

a=1，b=30；推出兩數分别為4、120；

a=2，b=15；推出兩數分别為8、60；

a=3，b=10；推出兩數分别為12、40；

a=5，b=6；推出兩數分别為20、24。

所以一共有四個答案！

a=30，b=1；推出兩數也分别為4、120，故不考慮這種重複的情況！

此題較為簡單，屬入門題！

但也需要我們會設，正确的假設，這題就做出了一半！

例2：

同樣，我們設兩個自然數為aq、bq（中間乘号省略、q為非0、1的自然數，a與b互質，且a>b）

根據題目條件：

aq-bq=55；兩自然數的差為55；……1式

q abq=275；最大公約數與最小公倍數的和是275……2式

将兩式做變換，提出公因數q：

q(a-b)=55；……3式

q(1 ab)=275；……4式

觀察3式和4式可知，q為55和275的公因數，是不是最大暫時無法确定，那麼，我們先求了下55和275的公因數：

所以，我們可知，55和275的公因數有三個，即q=5、11和55。

此時我們就要進行嚴謹的邏輯分析：

A. 當q=5時：a-b=11；1 ab=55即ab=54；

此時，我們先考慮ab=54中a與b的可能性：（注意，我們假設的是a>b）

a=54，b=1；

a=27，b=2；

a=18，b=3；

a=9，b=6。

這四組可能中，均沒有符合條件a-b=11的，所以q不可能為5。

B. 當q=11時：a-b=5；1 ab=25即ab=24；

同理，我們先考慮ab=24中a與b的可能性：

a=24，b=1；

a=12，b=2；

a=8，b=3；

a=6，b=4。

此時，我們發現，隻有第三組，即a=8，b=3時，符合a-b=5，所以題目所求的兩個數可能是：

aq=88，bq=33。

C. 當q=55時：a-b=1；1 ab=5即ab=4；

同理，我們先考慮ab=4中a與b的可能性：

a=4，b=1；

不符合條件a-b=1，所以q不可能為55

此類題目需要同學有嚴謹的思維！再出個海盜分金的題目我們練習一下：

經濟學上有個“海盜分金”模型：

是說5個海盜搶得100枚金币，每一顆都一樣的大小和價值。

他們按抽簽的順序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然後5人表決，投票有超過半數同意方案才被通過，否則他将被扔入大海喂鲨魚，依此類推。

假定“每個海盜都是絕頂聰明且很理智”，那麼“第一個海盜提出怎樣的分配方案才能夠使自己的收益最大化？”

當然，海盜分金還有一種題目：

5個海盜搶到了100枚金币，每一顆都一樣的大小和價值。

他們按抽簽的順序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然後5人表決，投票有半數或超過半數同意方案才被通過，否則他将被扔入大海喂鲨魚，依此類推。

假定“每個海盜都是絕頂聰明且很理智”，那麼“第一個海盜提出怎樣的分配方案才能夠使自己的收益最大化？

兩題的區别在于第一個是超過半數才能通過，第二個是半數也可以通過！

聰明的朋友們，是你的話你怎麼分金币，看看你們的邏輯性如何？希望留下你們的評論！

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