今天大小吳來和大家玩一個非常有趣的數學魔術。

• 一位魔術師，一位助手;

• 去掉大小王的标準撲克牌，數量為52張;

• 數學.

魔術開始，随機選擇一名觀衆并将撲克牌交給他，請他檢查并打亂。随後要求這位觀衆在牌中随機抽取5張牌，并交給魔術師的助手，助手将其中4張牌按某種“順序”依次交給魔術師（一次一張），魔術師拿到牌後将其平攤在桌面上，比如說是這四張：

然後便是見證奇迹的時刻——魔術師宣布，助手手中還未交出的第5張牌是！随即助手翻開第5張牌，确實如此，魔術成功。

注意！這個魔術沒有請托，也沒有對撲克牌動過任何手腳。你一定驚訝于魔術師是如何猜出第5張牌的——因為整個洗牌、抽牌過程是完全随機的，沒有任何規律可言。

其實，魔術的關鍵在于助手，他可以選擇留下哪張牌，并決定另外4張牌遞給魔術師的順序，這為魔術師提供了足夠的信息，讓魔術師可以根據這些信息推斷出第5張牌到底是哪一張。這個小把戲不過是運用到了一些數學原理，非常簡單！來讓我們一起看看是怎麼回事吧。

由于助手有5張牌，而一副撲克牌隻有4種花色，因此至少有兩張牌有相同的花色（抽屜原理：假如有個元素放到個集合中去，其中必定有一個集合裡至少有兩個元素）。當然，也有可能觀衆抽取的5張牌中有3張、4張、甚至5張花色都相同，但這也并不影響魔術的實施，因為隻要助手将花色相同的兩張牌放在牌序的第1張和第5張，魔術師便能很容易地得知第5張被助手藏起來的牌的花色了。

下一步便要确定到底是黑桃幾。魔術師是如何知道是黑桃的呢？這裡我們定義一個概念——“撲克牌距離”，首先要将撲克牌全部轉化為數字，令

那麼兩張牌的“撲克牌距離”可以用如下公式計算（假如兩張撲克牌對應數字為和，且數字之差的絕對值大于6）：

比如說，和的“撲克牌距離”為

實際上，如果我們把撲克牌按順序放置在一個圓上，則“距離”代表的含義是由一張牌到另一張牌的最小步數。因為隻需要兩步，故和的距離為2.由圖易知，“撲克牌距離”最大不會超過6，比如到7的距離為6（順時針走），而不是7（逆時針走）。

有了這個概念，我們便可以繼續完成魔術了，因為剩下的三張牌足以告訴魔術師第5張牌代表的數字是什麼，你猜到該怎麼做了嗎？

要做到這一點，我們首先要根據某個規則對撲克牌中所有的牌進行排序：先按照花色排序，規則是、

将剩下三張牌記為、、，分别表示最前面的、中間的和最後面的牌，則會産生6種可能的順序：

這6種排序可以分别與數字1到6對應，因此助手在将牌遞給魔術師時，隻需讓牌的順序與相同花色的前後兩張牌之間的距離的數值相對應，魔術師就能推算出那張牌對應的數字是幾，從而也就知道了第5張牌到底是什麼。

這裡需要注意的是，由于撲克牌距離存在雙向性（順時針和逆時針），因此會産生兩種情況（比如與2距離為2的牌有4和兩種），為了避免這種情況出現，我們可以提前規定距離是隻按順時針計算的，什麼意思呢？比如說，如果前後兩張牌是和，那麼助手就應該把放在第一張，而就是唯一一張按順時針與距離為2的牌（不考慮花色），這樣就保證了解的唯一性。

再比如，如果前後兩張牌是和，那麼助手就應該把放在第一張。

讓我們用這個手法來實踐一下最初的魔術吧，還是用之前5張牌：

有兩張相同花色的牌，在前面，在後面，因此選擇藏起來。首先遞給魔術師的牌是，然後對剩餘的牌排序，根據規則，有

對應了集合，由于距離為2，則需重新排序，選取集合，因此助手的遞牌順序是、

參考文獻[1]（美）馬克·錢伯蘭.數字乾坤[M].唐璐譯.湖南科學技術出版社，2020.

原文标題：五張牌的魔術

來源：大小吳的數學課堂

編輯：hxg

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