小學數學有一種類型叫韓信點兵，也叫剩餘理論。同餘數的題一般比較容易，找公倍數就可以，不是同餘數就有一定難度，本文29道習題，帶有詳細解析，有一定的參考學習價值。

1.一個兩位數除以5餘3，除以7餘5，這個兩位數最大是（ ）

A. 72 B. 37 C. 68 D. 33

2. 幼兒園老師給一群小朋友分糖果，如果每人分7顆，則還差6顆；如果每人分6顆，則又多出7顆，那麼共有糖果（ ）顆．

A. 85 B. 84 C. 83 D. 82

3. 設ɑ是一個滿足下列條件的最大的正整數：使得用ɑ除64的餘數是4；用ɑ除155的餘數是5；用ɑ除187的餘數是7，則ɑ=（ ）

A. 10 B. 15 C. 30 D. 60

4. 甲、乙、丙三人擲骰子，每人擲三次，他們擲出的點數的積都是24．将每人擲出的點數的和由大到小排列，依次是甲、乙、丙，則點數3是________ 擲出的．（點數：向上的一面上的數字．骰子的六個面上的點數分别是1至6）

5.被3除餘2，被5除餘4，被7除餘4的最小自然數是________ ．

6.一個小于200的自然數，被7除餘2，被8除餘3，被9除餘1，這個數是________ ．

7. 某數用3除餘2，用7除餘4，用11除餘1，滿足這些條件的最小自然數是________ ．

8.有一個數除以5餘數是2，除以7餘數是3，這個數除以35的餘數是________ ．

9.一個兩位數，用它除58餘2，除73餘3，除85餘1，這個兩位數是________ ．

10.六位數6X6X6X能被11整除，x是0到9中的數，這樣的六位數是________ ．

11. 有一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘4，除以9餘5．這個數至少是________ ．

12.籃子裡有雞蛋若幹個，每次取出3個，最後剩1個；每次取5個，最後剩下3個；每次取7個，最後剩下5個，則籃子裡最少有________ 個雞蛋．

13.五年級的學生排隊做操，如果10人一行則餘2人，如果12人一行則餘4人，如果16人一行則餘8人，那麼五年級最少有________ 人．

14. ( 1分 ) 自然數390，369，425被某自然數（且大于1）除時餘數相同，那麼2014被 這個自然數除的餘數是________ ．

15.某小學的六年級有一百多名學生．若按三人一行排隊，則多出一人；若按五人一行排隊，則多出二人；若按七人一行排隊，則多出一人．該年級的人數是________ ．

16.有一堆球少于10個，3個3個地數，最後剩2個；5個5個地數，最後剩3個．這些球一共有________ 個．

17. 一個數被3除餘2，被4除餘2，被5除餘4，符合條件的500以内的最大數是________ ．

18. 一個數除以3的餘數是2，除以5的餘數是1，則這個數除以15的餘數是________ ．

19. 用一個數除200餘4，除235則不足3．這個數最大是________ ．

20.某班學生分組讨論，若每組3人，則最後餘2人，若每組5人，則餘3人，若每組7人，則餘4人．這個班最少有________ 人．

21. 傳說中漢朝大将韓信善于帶兵，他就帶領軍隊南征北伐，為漢高祖劉邦打敗項羽，建立汗馬功勞，他清點士兵的時候沒有一個個數，他是這麼數的，比如，如果三個三 個數士兵，那麼剩下兩人，五個五個數士兵．剩下三個，七個七個數士兵，那麼剩下兩個人，請問如何計算出全隊至少有多少個士兵呢？

22. 銀行有200個保險櫃，分别編号1﹣200号．為了保險起見，每個保險櫃的鑰匙不能編上與櫃相同的号碼．現在設計一種将鑰匙編号的方法：每個保險櫃的鑰匙用四個數字來編号（首位數字可以是0），從左起的四個數字依次是保險櫃的編号除以2，3，5，7所得的餘數，如8号保險櫃的鑰匙編号為0231．問編号為1233的鑰匙是幾号保險櫃的？

23.一個兩位數除以3或者除以2都餘1，除以9餘4，求這個兩位數．

24.某數用6除餘3，用7除餘5，用8除餘1，這個數最小是幾？

25.一個數被6除餘4，被7除餘3，被11除餘8．這個數最小是多少？

26.學校九班到圖書館借圖書，如借35本，平均分發給每個小朋友差一本；如借56本，平均分發給每個小朋友剩2本；如借69本，平均分發給每個小朋友差3本，這個班的小朋友最多有多少人？

27.五一班開展數學課外活動，每組6人餘3人，每組7人餘3人，每組8人餘5人．五一班有多少人？

28.一個自然數除以8得到的商加上這個數除以9的餘數，其和是13．求所有滿足條件的自然數．

29.某車間原有工人不少于63人．在1月底以前的某一天調進了若幹工人，以後，每天都增調1人進車間工作．現知該車間1月份每人每天生産一件産品，共生産1994件．試問：1月幾号開始調進工人？共調進多少工人？

答案解析

1.【答案】C

【解析】【解答】5×7×2－2=68。

【分析】本題是剩餘定理的運用，這個兩位數除以5餘3，說明這個數加上2後是5的倍數，除以7餘5，說明這個數加上2後是7的倍數，所以，這個數加上2後是5和7的公倍數，符合要求的最大兩位數，5×7×2－2=68。

2.【答案】A

【解析】【解答】(7 6)×7-6=85(顆)

故本題的答案為：A

【分析】每人分7顆與每人分6顆，糖果數相差6 7=13個，因此有13個小朋友，再根據人數求出糖果的數量。

3.【答案】 C

【解析】【解答】解：64﹣4=60

155﹣5=150

187﹣7=180

所以60、150、180的最大公因數是：5×3×2=30

因此，a=30．故選：C．

【分析】根據題意可知，a一定能整除（64﹣4）、（155﹣5）、（187﹣7），即a一定是60、150、180的最大公因數，隻要用短除法即可求出最大公因數．

4.【答案】 丙

【解析】【解答】解：3次擲的點數之積分别都是24，

隻有這3種可能1，4，6；2，3，4；2，2，6；

3次擲的點數之和從大到小的順序為1，4，6；2，2，6；2，3，4．

故答案為：丙．

【分析】根據題意甲乙丙每次擲出的點數既是1至6中的數字，也得是24的因數，所以擲出的點數是1、2、3、4、6，3次擲的點數之積分别都是24，隻有這3種可能1，4，6；2，3，4；2，2，6；3次擲的點數之和從大到小的順序為 1，4，6；2，2，6；2，3，4．由此可以解決問題．

5.【答案】74

【解析】【解答】解：由題意可知，把這個數加1，則它同時被3和5整除，也就是被15整除，

所以這個數是15k﹣1的形式，即14，29，44，59，74，89，…，

因為這個數被7除餘4，

經驗證，這個數是74； 故答案為：74．

【分析】由于這個數被3除餘2，被5除餘4，所以把這個數加1，則它同時被3和5整除，也就是被15整除，所以這個數是15k﹣1的形式，即14，29，44，59，74，89，…，然後再根據被被7除餘4這個條件驗證這些數，這列數中最小的就是所求．

6.【答案】163

【解析】【解答】解：7和8的最小公倍數：7×8=56，

該數為：x=56n﹣5，

n=1時，x=51，被9除餘6，

n=2時，x=107，被9除餘8，

n=3時，x=163，被9除餘1，

n=4時，x＞200，

所以這個數是163，

故答案為：163．

【分析】由被7除餘2，被8除餘3，可知這個數加上5，就能被7和8整除，那就先求出7和8的最小公倍數7×8=56，再找出小于200的7和8的公倍數有56，112，168，分别減去5，為：51，107，163；再分析這些公倍數中誰能被9除餘1，經計算隻有163符合，由此解答即可．所以這個數是163．

7.【答案】221

【解析】【解答】解：（1）找到能被3，7整除，且除以11餘1的最小數，為：

3×7×10=210．

（2）找到能被3，11整除，且除以7餘4的最小數，為：

3×11×5=165．

（3）找到能被7，11整除，且除以3餘2的最小數，為：

7×11=77．

（4）把找到的三個最小數求和，為：

210 165 77=452．

（5）求出3，7，11的最小公倍數，為：

3×7×11=231

（6）把求出的和與最小公倍數比較，如果和大于最小公倍數，就減去最小公倍數

可以重複進行，直到結果小于最小公倍數．

452﹣231=221＜231．

221就是滿足要求的最小數，所以m=221．

【分析】根據中國剩餘定理來解答此題．

8.【答案】17

【解析】【解答】解：除以5餘2的數有：7、12、17、22、27…

除以7餘數是3的數有：10、17、24…

所以，除以5餘數是2，同時除以7餘數是3的數是17，

則，這個數除以35的餘數是17．

故答案為：17．

【分析】此題可采用列舉法由一般到特殊進行推理解決．如：除以5餘2的數，應是5的倍數 2；除以7餘3的數，應是7的倍數 3，從中找出同時符合“除以5餘數是2且除以7餘數是3的數”，即可解決問題．

9.【答案】 14

【解析】【解答】解：58﹣2=56，73﹣3=70，85﹣1=84能被這個兩位數整除，這個兩位數一定是56、70和84的公約數．

由可可見，56、70、84的兩位數公約數是2×7=14，可見這個兩位數是14．

故答案為14．

【分析】用一個兩位數除58餘2，除73餘3，除85餘1，那麼58﹣2=56，73﹣3=70，85﹣1=84能被這個兩位數整除，這個兩位數一定是56、70和84的公約數．

由此可見，56、70、84的兩位數公約數是2×7=14，可見這個兩位數是14．

10.【答案】666666

【解析】【解答】解：根據題意

﹣9≤18﹣3x≤18，

所以18﹣3x=0或11．

①當18﹣3x=0時，x=6，

②當18﹣3x=11時，x不為整數，故舍去．

所以，這個六位數是666666．

故答案為：666666．

【分析】所有的奇數位置上的數之和減去所有偶數位置上數字之和=11的倍數，那麼這個數就能被11整除．因為，0≤x≤9，所以﹣9≤6×3﹣3x≤18，即：﹣9≤18﹣3x≤18．因為，18﹣3x能被11整除，所以奇數位的和與偶數位的和的差能被11整除，所以，18﹣3x=0或11．當18﹣3x=0時，x=6，當18﹣3x=11時，x不為整數，故舍去．所以，這個六位數是666666．

11.【答案】158

【解析】【解答】解：（5、7）=35；（3、7）=21；（3、5）=15；（3、5、7）=105．

35正好除以3餘2；為了使21除以5餘3，則21×3=63；為了使15除以7餘4，則15×4=60．

所以35 63 60﹣105=53．即：除以3餘2，除以5餘3，除以7餘4”的最小數是53．

因此“除以3餘2，除以5餘3，除以7餘4，除以9餘5”的最小數是：53×3﹣1=158．

故答案為158．

【分析】用剩餘定理求得“除以3餘2，除以5餘3，除以7餘4”的最小數是53．

又因為被9除餘5，所以把53擴大3倍減去1後才能滿足條件，即53×3﹣1=158．

那麼158就是所求的最小數．

12.【答案】103

【解析】【解答】解：因為3、5和7的最小公倍數是3×5×7=105，

所以籃子裡的雞蛋最少有：105﹣2=103（個），

答：籃子裡最少有103個雞蛋；

故答案為：103．

【分析】根據題意得出此題要求的數是能夠被3、5、7整除還少2的數，由此求出3、5、7的最小公倍數再減去2即可．

13.【答案】232

【解析】【解答】解：10=2×5，

12=2×2×3，

16=2×2×2×2，

所以10、12、16的最小公倍數是2×2×2×2×3×5=240，

因為10﹣2=8，12﹣4=8，16﹣8=8，

所以240﹣8=232（人）；

答：五年級最少有232人．

故答案為：232

【分析】先求10、12、16三個數的最小公倍數，即240；又10﹣2=8，12﹣4=8，16﹣8=8，即他們都和最小公倍數相差8，因此五年級最少有240﹣8=232（人），解決問題．

14.【答案】5

【解析】【解答】解：390﹣369=21=3×7

425﹣369=56=7×8

425﹣390=35=5×7

21，56，35能同時被這個數整除，

21，56，35大于1的公約數為7，

2014÷7=287…5

答：2014被這個自然數除的餘數是5．

故答案為：5．

【分析】可設390=x a a是餘數，369=y a，425=z a，x，y，z能被這個自然數整除，兩兩相減之後，比如390﹣369=x﹣y能被這個自然數整除，所以得到這個結論：這個數能同時能整除它們的差，然後求出公約數即可解答．

15.【答案】127

【解析】【解答】解：因為按3人和7人一行排隊都多出1人，所以總人數應該是3和7的公倍數多1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、…

其中符合題意一百多名的隻有106、127、148、169、190這五個數

同理，又因為按5人一行排隊多2人，所以總人數應該是5的倍數多2，所以總人數的最後一位數字應該是2或7

最終符合題意的是127．

答：該年級的人數是127．

故答案為：127．

【分析】此題屬于孫子定理，又叫同餘定理，中國剩餘定理，分組時，隻要餘數相同，求總數，就可以先求出分組時組員數目的最小公倍數，然後再加上餘數；本題有兩個餘數，可分部求解．

16.【答案】8

【解析】【解答】解：10以内除以3餘2的數有5，8，

在其中除以5餘3的數是8．

所以這些球一共有8個．

故答案為：8．

【分析】先找到除以3餘2的數；再在這些數中得到除以5餘3的數即可．

17.【答案】494

【解析】【解答】解：被5除餘4，個位上的數是4或9，

被4除餘2，說明這個數是偶數，所以這個數的個位一定是4，

符合條件的500以内的最大數百位一定是4，

被3除餘2，個位減去2就是2，這個數就能被3整除，2 4=6，十位上能填0、3、6、9，9最大，所以這個數是494．

故答案為：494．

【分析】被5除餘4，個位上的數是4或9，被4除餘2，說明這個數是偶數，所以這個數的個位一定是4，符合條件的500以内的最大數百位一定是4，3的倍數中492 2=494符合題意，所以這個數是494．

18.【答案】11

【解析】【解答】解：一個數除以3的餘數是2，除以5的餘數是1，則這個數除以15的餘數是 11； 故答案為：11．

【分析】一個數除以3餘數是2的數有：5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、…

一個數除以5餘數是1的數有：6、11、16、21、26、31、36、41、…

一個數除以3餘數是2除以5餘數是1，這個數是11、26、41、56、71、…

這個數除以15的餘數是11 .

19.【答案】14

【解析】【解答】解：200﹣4=196，235 3=238

196=2×2×7×7

238=2×7×17

196和238的最大公因數是2×7=14

答：這個數最大是14

故答案為：14．

【分析】由于用它去除200餘4，說明這個最大自然數是200﹣4，235 3的公因數，求這個數最大是多少，即求196和238的最大公因數，先把196和238進行分解質因數，這兩個數的公有質因數的連乘積是這兩個數的最大公因數；由此解答即可．

20.【答案】53

【解析】【解答】解：

（1）3和5的最小公倍數是15，15÷7=2…1，把15擴大4倍是：15×4=60，60÷7=8…4；

（2）同理可以求出，3和7的最小公倍數是21，21÷5=4…1，把21擴大3倍是：21×3=63，63÷5=12…3；

（3）7和5的最小公倍數是：7×5=35，35÷3=11…2；

3、5、7的最小公倍數是：3×5×7=105，

60 63 35﹣105=53；

所以這個班最少有53人．

故答案為：53．

【分析】先求出3、5、7兩兩的最小公倍數，3和5的最小公倍數是15，15÷7=2…1，把15擴大4倍是60，60÷7=8…4；同理可以求出，3和7的最小公倍數是21，21÷5=4…1，把21擴大3倍是63，63÷5=12…3；7和5的最小公倍數是35，35÷3=11…2；3、5、7的最小公倍數是3×5×7=105，60 63 35﹣105=35；所以這個班最少有53人．

21.【答案】解：3×7 2=23（人）

因為，23÷5=4…3，

所以，23人符合五個五個數士兵，剩下三個，

所以，最少有23人．

答：全隊至少有23個士兵．

【解析】【分析】根據“三個三個數士兵，那麼剩下兩人，七個七個數士兵，那麼剩下兩個人，”先求出3和7的最小公倍數是：3×7=21，然後再加上2就是符合第一個和第三個條件的人數：21 2=23人，然後驗證23除以5是否餘3即可得出答案．

22.【答案】解：設這個數是x，x是除以2餘數1，除以3餘數是2，除以5餘數是3，除以7餘數是3的數．

如果x減少3，則同時被2、5、7整除，并且被3除餘2；

2×5×7=70；

70÷3=23…1，

餘數是1，那麼

70×2÷3餘數就是2；

所以符合條件的最小的一個數是：70×2 3=143；

在1～200範圍内，隻有143一個符合要求．

答：這個鑰匙是143号保險箱的鑰匙．

【解析】【分析】四個數字依次是保險櫃的編号除以2，3，5，7所得的餘數，編号是1233，就找出除以2餘數1，除以3餘數是2，除以5餘數是3，除以7餘數是3的數即可．

23.【答案】解：這個數減去1，就是2與3的公倍數，除以9就餘3，

9的倍數9、18、27、36、45、…90，奇數有：9、27、45、63、81、99（因為9的倍數加上3就是2與3的公倍數，隻有奇數加上3才是偶數，2與3的公倍數肯定是偶數），

12、30、48、66、84再把這幾個數加上1就行，因此符合條件的兩位數有：13、31、49、67、85．

【解析】【分析】根據“一個兩位數除以3或者除以2都餘1，除以9餘4，”說明這個數減去1就是2與3的公倍數，除以9就餘3，

9的倍數在100以内的隻有：9、18、27、45、54、63、72、81、90、99；

再找出其中倍數是奇數的（因為這些數加上3就是2與3的公倍數，2與3的公倍數又是偶數）：9、27、45、63、81、99；

再加上3後是12、30、48、66、84、102（去掉），最後加上1就行，所以符合條件的兩位數是：13、31、49、67、85 .

24.【答案】解：滿足除以8餘1的數從小到大排列：8×1 1=9，那麼9÷7=1…2，不符題意；

8×2 1=17，那麼17÷6=2…5，不符題意；

8×3 1=25，那麼25÷6=4…1，不符題意；

8×4 1=33，那麼33÷6=5…3，33÷7=4••5，滿足條件；

所以這個數最小是33．

【解析】【分析】用“大數翻倍法”：滿足除以8餘1的數從小到大排列：8×1 1=9，不符題意； 8×2 1=17，不符題意； 8×3 1=25，不符題意； 8×4 1=33，滿足條件，所以這個數最小是33．

25.【答案】解：設所求的正整數為m，則由題意有：

m=6d 4 （d是整數） ①

m=7k 3 （k是整數） ②

m=11p 8 （p是整數） ③

由①與②式得6d 4=7k 3

即6d=7k﹣1=6k k﹣1

即d=k （k﹣1）÷6

由于d，k是整數，所以（k﹣1）能被6整除

所以可令k﹣1=6e （e是整數）

即k=6e 1 ④

把④式代入②得m=7（6e 1） 3=42e 10 ⑤

由③與⑤式得11p 8=42e 10

即11p=42e 2=44e﹣2e 2

即p=4 2（﹣e 1）÷11 ⑥

由于p，e都是整數，所以（﹣e 1）能被11整除

所以可令﹣e 1=11r （r是整數）

即e=1﹣11r代入⑤式得

m=42（1﹣11r） 10

m=52﹣462r

要使m取最小值，則r=0即可

于是m=52．

答：這個數最小是52．

【解析】【分析】設所求的正整數為m，則由題意有：

m=6d 4 （d是整數） ①

m=7k 3 （k是整數） ②

m=11p 8 （p是整數） ③

然後進行分析讨論，得出答案．

26.【答案】解：因為：35 1=36，56﹣2=54，69 3=72

36=2×2×3×3

54=2×3×3×3

72=2×2×2×3×3

（36，54，72）=2×3×3=18

答：幼兒園最多有18個小朋友．

【解析】【分析】本題用公因數解答比較較簡單，要求這個班的小朋友最多有多少人，實際上是求（35 1），（56﹣2），（69 3）的最大公因數，然後分解質因數解答即可．

27.【答案】解：因為每組6人和每組7人同餘，

所以，6×7 3=45，

又因為，45÷8=5…5；

所以，符合每組8人餘5人，所以這個班最少有45人．

答：五一班有45人．

【解析】【分析】因為每組6人和每組7人同餘，所以先求出6、7兩數的最小公倍數，然後再加上3，即：6×7 3=45，因為45÷8=5…5；符合每組8人餘5人，所以這個班最少有45人．

28.【答案】解：設這個數為n，除以9所得餘數r≤8，所以除以8得到的商q≥13﹣8=5，又顯然q≤13．

q=5時，r=8，n=5×8 4=44；

q=6時，r=7，n=6×8 4=52；

q=7時，r=6，n=7×8 4=60；

q=8時，r=5，n=8×8 4=68；

q=9時，r=4，n=9×8 4=76；

q=10時，r=3，n=10×8 4=84；

q=11時，r=2，n=11×8 4=92；

q=12時，r=1，n=12×8 4=100；

q=13時，r=0，n=13×8 4=108．

滿足條件的自然數共有9個：108，100，92，84，76，68，60，52，44．

答：滿足條件的自然數共有9個：108，100，92，84，76，68，60，52，44．

【解析】【分析】先依據題目條件求出這個數除以9的餘數的取值範圍，從而能确定出這個數除以8的商的取值範圍，在這兩個值的取值範圍内，逐一選用，就能得到符合要求的自然數，問題得解．

29.【答案】解：因為原有工人不少于63人，并且

1994=63×31 41，

1994=64×31 10，

1994＜65×31，

所以，這個車間原有工人不多于64人，即這個車間原有工人63人或64人．

這個車間原有工人1月份完成産品是

63×31=1953或64×31=1984（件）．

于是可知，餘下的41件或10件産品應該表示為連續自然數之和．據已知，不能是1月31日調進工人，設第一天調進x名工人，共調入n天，那麼顯然2≤n≤8．事實上，九個連續自然數之和最小為

1 2 3 4 5 6 7 8 9=45＞41．

經檢驗，當n=2時x=20，并且有：

20 21=41；

當n=4時x=1，并且有：

1 2 3 4=10．

答：從1月30日開始調進工人，共調進工人21名；或者從1月28日開始調進工人，共調進工人4人．

【解析】【分析】因為原有工人不少于63人，并且 1994=63×31 41，1994=64×31 10，1994＜65×31，所以，這個車間原有工人不多于64人，即這個車間原有工人63人或64人．這個車間原有工人1月份完成産品是63×31=1953或64×31=1984（件）．于是可知，餘下的41件或10件産品應該表示為連續自然數之和．

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