行列式在數學中，是一個函數，其定義域為det的矩陣A，取值為一個标量，寫作det(A)或 | A | 。無論是在線性代數、多項式理論，還是在微積分學中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數學工具，都有着重要的應用。

行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾裡得空間中的推廣。或者說，在 n 維歐幾裡得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。

曆史上，最早使用行列式概念的是17世紀德國數學家萊布尼茲，後來瑞士數學家克萊姆於1750年發表了著名的用行列式解線性方程組的克萊姆法則，首先将行列式的理論脫離開線性方程組的是數學家範德蒙，1772年他對行列式作出連貫的邏輯闡述.

法國數學家柯西于1841年首先創立了現代的行列式概念和符号，包括行列式一詞的使用，但他的某些思想和方法是來自高斯的。在行列式理論的形成與發展的過程中做出過重大貢獻的還有拉格朗日、維爾斯特拉斯、西勒維斯特和凱萊等數學家。

二元線性方程組，别名叫“二元一次方程組”，是指由兩個方程兩個未知量構成的線性方程組。二元線性方程組實質上就是二元一次方程組。因為二元一次方程的圖象是一條直線，所以有時就将二元一次方程稱之為線性方程，将二元一次方程組稱之為線性方程組。

二階行列式指4個數組成的符号，其概念起源于解線性方程組，是從二元與三元線性方程組的解的公式引出來的，因此我們首先讨論解方程組的問題。行列式是一個重要的數學工具，不僅在數學中有廣泛的應用，在其他學科中也經常遇到。

用消元法解二元線性方程組：

為消去未知數x2, 以a22與a21分别乘上列兩方程組的兩端，然後兩個方程組相減，得：

類似地，消去x1，得：

當a11*a22 - a12 * a21 ≠0時，求得方程組的解為：

上式中的分子，分母都是四個數分兩對相乘在相減而得，其中分母a11 * a22 - a12 * a21是有方程組的四個系數确定的，把這兩個數按他們在方程組中的位置，排成二行二列（橫排稱為行，豎排稱為列）的數表：

表達式a11 * a22 - a12 * a21稱為數表所确定的二階行列式，并記作：

數aij(i=1,2; j=1,2)稱為行列式的元素或元，元素aij的第一個下标i稱為行标，表明該元素位于第i行，第二個下标j稱為列标，表明該元素位于第j列，位于第i行第j列的元素稱為行列式的(i,j)元。

上述二階行列式的定義，可用于對角線法則來記憶，參看下圖，把a11到a22的實聯線 稱為主對角線，a12到a21的虛連線稱為副對角線，于是二階行列式便是主對角線上的兩元素之積減去副對角線上兩元素之積所得到的差。

利用二階行列式的概念，方程組中的x1,x2的解也可以寫成二階行列式。即：

那麼方程組的解就可以寫成：

注意這裡的分母D是由方程組的系數所确定的二階行列式(稱為系數行列式), x1的分子D1是由常數項b1, b2替換D中的x1的系數a11, a21所得的二階行列式，x2的分子D2是由常數項b1,b2替換D中的x2的系數a12,a22所得的二階行列式。

現在來看一個例題：

定義 設有9個數排列成三行三列的數表：

記：

上式稱為數表所确定的三階行列式。

上述定義中表明三階行列式含6項，沒項均為不同行不同列的三個元素的乘積再冠以正負号，其規律遵循下圖所示的對角線法則，圖中有三條實線看做是平行于主對角線的聯線，三條虛線看作是平行于副對角線的聯線，實線上三元素的乘積冠以正号，虛線上三元素的乘機冠以負号。

計算方法：

直接計算——對角線法：标準方法是在已給行列式的右邊添加已給行列式的第一列、第二列。我們把行列式的左上角到右下角的對角線稱為主對角線，把右上角到左下角的對角線稱為次對角線。這時，三階行列式的值等于主對角線的三個數的積與和主對角線平行的對角線上的三個數的積的和減去次對角線的三個數的積與和次對角線平行的對角線上三個數的積的和的差。

任何一行或一列展開——代數餘子式：

行列式某元素的餘子式：行列式劃去該元素所在的行與列的各元素,剩下的元素按原樣排列,得到的新行列式。

行列式某元素的代數餘子式：行列式某元素的餘子式與該元素對應的正負符号的乘積。

三階行列式運算：即行列式可以按某一行或某一列展開成元素與其對應的代數餘子式的乘積之和。

例題：

計算三階行列式：

按對角線法則，有D=1 * 2 * (-1) 2 * 1 *(-1) (-4) * (-2) * 4 - 1 * 1 * 4 - 2 * (-2) * (-2) - (-4) * 2 * (-3) = -14

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