科技需要能夠精确描述（量化描述與分析），規律需要公式來推理和表達，這都離不開數學。

世間萬事萬物都是從無到有，數學的概念與是一步一步不斷積累而來的。

最早用來計量物體個數的數字抽象叫自然數（N）。

自然數（N）可用集合{1,2,3,……,n,……}來表示。此時的數系隻有自然數。

自然數适用各種加法運算，稱為加法封閉，如3 4＝7。

但用自然數來做減有時就會存在問題，如4-7的結果無法用自然數來表示。

後為人們在數系中加入了0、負數（負整數），與原有的自然數一起稱為整數（Z）。

整數（Z）可用集合{……，-n,……,-3,-2,-1,0,1,2,3,……,n,……}來表示。

整數适用加、減運算，滿足減法封閉，如4-7=-3。

整數無法确保兩個數相除的結果還是一個整數，如3÷4的結果無法用一個整數來表示。

為了确保數系的除法封閉，人們抽象出了分數（小數）的概念。整數和分數一起構成有理數Q。

有理數并非其多麼的有理，是從英文翻譯過來的一個名詞，對應的英文是rational，該詞有成比例、有理性的意思，當時翻譯成了有理數，後來也就約定俗成了。你如果把它理解為比例數，會更加直觀。

其集合可以表示為{x|x=p/q, p,q∈z}。

有理數适用所有加、減、乘、除運算，滿足了除法封閉，如3÷4 ＝ 3/4 = 0.75。

至此，我們的數系可以完全滿足加、減、乘、除的四則運算了。

但是，如果我們的數系用一個數軸來表示的話，數軸除了有理數以外，應該還有空隙存在。在離散的數字中間，總會有更小的數字存在。

4 無理數與正數開方封閉

對于一個等腰為1的正三角形的斜邊的邊長，我們無法用有理數來表示。也就是說，x*x = 2，x是一個有理數嗎？也就是說，有理數開方的結果不一定是有理數。

于是人們引用了一個根号√的符号，用√2來表示一個等腰為1的正三角形的斜邊的邊長，表示某一個數x乘以x的結果為2，x=√2。

如圓周與直徑的比例，不是一個有理數，我們用π=3.1415926……來表示；

如表達式(1 1/n)^n(n→∞)，無法用一個有理數來表示，我們表示為e=2.71828……

上述類似的數稱為無理數，即無法用有理數（分數）來表示的數。

無理數和有理數統稱不實數（R），實數如實數軸一一對應。

實數解決還隻是解決了正數開方的問題。

5 虛數的引入是一元三次方程求解的需要

如果是負數開方，有沒有意義或有沒有需要呢。

從上面人們對數系的抽象過程可以知道，數是因為人們計算的需要而抽象出來的。

負數開方有可以滿足的計算需要嗎？答案是有。

人們在尋找一元二次方程ax² bx c=0（a≠0）的解的過程中，找到了一般的用系數表示的求解公式：

人們在研究一元三次方程的過程中，也找到了一般求解方法的公式。

一般的一元三次方程可寫成ax³ bx² cx d = 0 (a ≠ 0 )的形式。這個式子除以a，并設x=y-b/3a，則可化為如下形式：y³ py q = 0，其中p的值↓

其中q的值↓

所以讨論ax³ bx² cx d = 0 (a ≠ 0 )的解的問題，轉而可以轉變為讨論x³ px q = 0的問題。

當試圖用該公式解方程x³-15x-4=0時，可得：

上式出現的負數根，而方程x³-15x-4=0通過圖像可知，其不但有解，而且有三個實數解。

對于下式右邊的表達式：

卡爾達諾在書中提出并解決過類似的問題：對于x y=10, x*y =40，可以解得x=5 √-15，y=5-√-15。如果将√－1當做一個數字（後來稱為虛數i），并賦了i（√－1）同樣的代數和算術運算規則，那(5 √-15)(5-√-15) = (5 i√15)(5-i√15) = 5²-i²(√15)²=40。卡爾達諾雖然對虛數i進行了一些探讨，但始終還是沒有解決負數開根号的問題。

6 通過與負數的對比來理解虛數

方程式x² = 9也可以表示成：

1·x² = 9

x應該是什麼，使得它自乘兩次後，1變成了9？

兩個答案就是“x＝3”與“x＝-3”：這就是，你“乘以3”或者“乘以3，然後翻轉”（翻轉或取反是乘以負數的另一種解釋）。

接下來讓我們考慮以下x² = -1，這其實就是：

1·x² = -1

x應該是什麼，可以使它自乘兩次後，1變為-1？

我們不可能乘以一個正數，因為乘以正數以後還是正數

我們不能乘以一個負數兩次，因為相乘兩次後又會變為正數。

但如果是……旋轉呢！這聽起來很瘋狂，但是如果我們假設x被“轉過了90度”，然後乘以x兩次那就是旋轉180度，也就是把1翻轉成了-1！

耶！讓我們繼續深入考慮下去，我們可以把它繞其他方向旋轉（比如說順時針方向）來從1變為-1.這就是“負向”旋轉或者是稱作乘以-i：

如果我們乘以-i兩次，我們把1變成-i，然後-i變成-1，所以-1确實存在兩個根：i與-i。

這個很酷。我們有一些答案，但是這說明了什麼呢？

i是一個“新的想象出來的維度”，來标記數字

i（或者-i）就是指數字“被旋轉”

乘以i就是沿逆時針方向旋轉90度

乘以-i就是沿順勢正方向旋轉90度

無論那個方向，旋轉兩次就是-1：這就把我帶回到“傳統”的正負維度上去了。

數字是二維的。虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面，複平面上每一點對應着一個複數。

我們會問“怎樣通過兩步，把1變成-1”，然後我們就找到了答案：把它旋轉90度。這确實是一個奇怪但是又讓我們耳目一新的方法來理解數學。而且它很有用。（順便提一下，這種用幾何的方法解釋複數的方法直到i被發現幾十年後才被引入）

此外，逆時針為正是人們的一個約定俗成習慣——其他表示也是可以的。

讓我繼續深入細節。當我們連續乘以負數時（比如說-1），你就得到一種模式：

1，-1，1，-1，1，-1……

因為-1并不改變數的大小，隻改變符号，你就這樣的反複進行翻轉。比如說數“x”，你就會得到：

x，-x，x，-x，x，-x……

Ok。現在讓我們看看如果乘以i後會發生什麼？

用圖表示出來就是：

每四次旋轉循環一次。

虛數有一個直觀化的解釋：它把數字“旋轉”，就像負數把數字做了“鏡像”一樣。

負數曾被認為是荒謬的，虛數也曾被認為是虛構的，兩者也有可以類比的地方：

7 複數是實數與虛數在數軸上的相互投影

一個數字可以既是“實的”又是“虛的”嗎？

确實能。誰說我們必須旋轉90度？如果我們一隻腳在實數範圍内，另一隻在虛數範圍内，就像這樣：

我們處在45度角的為止，實數部分的大小與虛數部分的大小相當（1 i）。這就像一個熱狗既有芥末醬也有西紅柿醬——誰說你隻能選一種的？

事實上，我們可以任意選取實數與虛數組成一個三角形。角度就是“旋轉的度數”。複（合）數就是給這種數字準備的一個相當完美的名字。它們寫作 a bi，其中

a是實數部分

b是虛數部分

8 複數的加法與減法

我們通常見到的加法可以被認為是“移動”一段數字而得到。複數的加法也可以這樣模拟，不過我們有兩個維度（實數與虛數）可以移動。舉個例子：

、

(3 4i)與(-1 i)相加就可以得到2 5i。

再一次的，這種可視化的解釋幫助我們理解“獨立的部分”是如何組合在一起的：實部與虛部各自處理再組合就可以了。

減法就是加法的逆——就是把它向相反的方向移動。減去(1 i)就是加上-1·(1 i)，或者是加上(-1-i)。

9 複數的乘除

(3 4i)(1 i)=3 4i 3i 4i ² =3-4 7i=-1 7i

乘以一個複數就是繞着它旋轉。

原始指向：向東3個單位，向北4個單位＝3 4i

逆時針旋轉45度角後的指向＝乘以1 i

角度相加：角度（z）＝角度（x） 角度（y）

長度相乘：|z|=|x||y|

這就是說，z的角度是x的角度與y的角度的和，而長度就是它們的乘積。

除法就是乘法的逆運算。就像減法是加法的逆運算一樣。複數相除時（x/y），我們可以知道：

角度相減：角度（z）＝角度（x）－角度（y）

長度相除：|z|=|x|/|y|

10 複數的共轭

“複數共轭”是實部相等，但是虛部是一個“鏡像”。複數共轭或者說“想象的一種反射”有着相同的長度，但是角度相反！

複數的共轭都是把它們的虛部翻轉而已：

z＝a bi

它的複數共轭就是：

z* ＝a-bi

11 複數的實際應用

複數在電力方面應用很廣泛，在熱力學反面也有很多用途，在力學方面更加廣泛，流體力學裡面設計飛機的翼型問題，還有固體力學裡面的彈性理論都是有力的工具。

12 笛卡爾坐标系

在笛卡爾以前，幾何和代數是兩門科學，幾何研究圖形，圖形比較直觀，代數研究數與代數方程，比較抽象。笛卡爾不滿意這兩門科學孤立研究的抽象性，企圖使二者聯系起來，并使它們具體化。他通過他所設計的坐标系統标示法，把“點”和“數”聯系起來。笛卡爾對于變數的深入研究，證明幾何問題可以歸結為代數問題，在求解時可以運用全部代數方法。從此，變數被引進了數學，成為數學發展中的轉折點，為微積分的出現創造了條件。笛卡爾坐标系被廣泛地應用在工程技術和物理學領域中。

13 函數：描述和分析變量之間的關系

變化是萬事萬物的常态，我們可以用變量來表示，變量之間的某些關系可以描述為一種函數關系。

函數指一個量随着另一個量的變化而變化，或者說一個量中包含另一個量。

一般的，在一個變化過程中，假設有兩個變量x、y，如果對于任意一個x都有唯一确定的一個y和它對應，那麼就稱x是自變量，y是x的函數。x的取值範圍叫做這個函數的定義域，相應y的取值範圍叫做函數的值域，這是函數的傳統定義。

設A，B是非空的數集，如果按照某種确定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有惟一确定的數f(x)和它對應，那麼就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作 y=f(x)，x∈A，這是函數的集合定義。

從代數角度看，對應的自變量是方程的解。令函數值等于零，從幾何角度看，對應的自變量的值就是圖像與X軸的交點的橫坐标。另外，把函數的表達式（無表達式的函數除外）中的“=”換成“<”或“>”，再把“Y”換成其它代數式，函數就變成了不等式，可以求自變量的範圍。

14 求最值和面積都可以轉化為求變量之間的變化率問題

追求最優是生物的天性，如何求函數的最大值、最小值？如何求瞬時速度？如何求曲線的切線？如何計算坐标系中曲線投影到x軸的面積？這些問題都可以歸結為求一個函數的因變量相對于自變量變化的快慢，即“變化率”的問題。這也就是函數的導數概念。

導數（Derivative）是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f（x）的自變量x在一點x0上産生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。

導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。

－End－

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