這是高考數學一道比較基礎的立體幾何真題，關于直線與平面垂直以及平面與平面垂直，和四棱錐的體積問題。立體幾何題最重要的是把定理公式記牢，并能靈活運用。如果連最基本的定理公式都記不清楚，那就完蛋了。老黃已經快30年沒有接觸到這些定理了，但是仍可以在解題過程中把它們恢複出來。不過語言表達上，和課本裡描述的可能大相徑庭，内容保證是完全正确的。如果不是把定理公式内化為自己的語言，又怎麼能一記就記30年，甚至是一輩子呢？我們先來看題吧。

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，且PB⊥AM.

(1)證明：平面PAM⊥平面PBD；

(2)若PD=DC=1，求四棱錐P-ABCD的體積.

分析：(1)求證平面PAM垂直于平面PBD。我們隻需要找到其中一個平面内的一條直線，垂直于另一個平面就可以了。注意觀察。平面APM内的直線AM，極有可能滿足這個條件。因為已知PB垂直于AM，又可證PD垂直于AM，從而一條直線垂直于平面内的兩條相交線，直線就垂直于這個平面。這是一個逆向思維的過程，幾何證明題，逆向思維能力是非常重要的。

(2)若四棱錐的高PD和底面矩形的一邊DC都等于1，要求四棱錐的體積。顯然，我們隻要求得底面矩形的另一條邊的長度就可以了。為此，我們可以構造一組相似三角形，利用相似三角形的邊成比例的關系，來求矩形另一條邊的長。

下面組織解題過程：

(1)證明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM，

【依據的定理是：垂直于平面的直線垂直于平面内的任何直線。】

又PB⊥AM，∴AM⊥平面PBD，

【依據的定理是：一條直線同時垂直于平面内的兩條相交線，則這條直線垂直于這個平面。】

∵AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD.

【依據的定理是：平面内一條直線垂直于另一個平面，則這兩個平面互相垂直。這道題一共應用了立體幾何關于直線與平面垂直，以及平面與平面垂直的三個重要定理】

(2)解：如圖記AM交BD于Q，由1)可知∠AQB=90⁰，【依據與上面第一個定理相同】

∴在Rt△ABQ中，∴∠1 ∠2=90⁰，

又在Rt△ABD中，∠3 ∠2=90⁰，∴∠1=∠3，【同角等餘】

∴Rt△AMB∽Rt△DBA，【有一組銳角相等的兩個直角三角形相似】

設AD=BC=x,∵M為BC的中點，∴BM=x/2，

又BM/AB=AB/DA，即x/2=1/x, ∴x=根号2.【已經舍去了負根】

∴V四棱錐p-ABCD=AD·CD·PD/3=根号2 /3.【四棱錐的體積公式V=Sh/3】

可以看到，第二小題運用的全是初中的知識，而第一小題運用的定理都非常基礎，所以這是一道相當基礎的立體幾何題，對你來說，應該隻是小菜一碟吧。不論如何，仍有一些同學會覺得完成起來比較困難。老黃講得這麼哆嗦，這麼詳細，主要就是為這些有困難的同學服務的。

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