初中階級，相似三角形的判定，隻給出了判定的方法，并沒有給出這些方法的證明，在這裡，我想對這些方法的證明，給出我的淺見。

相似三角形判定的方法主要有三個：

方法一：如果一個三角形的兩個角分别與另一個三角形的兩個角對應相等，那麼這兩個三角形相似。

方法二：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那麼這兩個三角形相似。

方法三：如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那麼這兩個三角形相似。

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方法一

ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE,求證：ΔABC∽ΔADE。

為了方便證明，将兩個三角形合并到一個圖形當中。

首先證明三個角對應相等。

∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE,可以推出∠ACB=∠AED。

三個角對應相等證明完，接下證明三角邊對應成比例。

∠ABC=∠ADE，可證出BC//DE，可得AB:DB=AC:CE=k。

設AB=a,BC=b,得AC=ak,CE=bk。

作CF//AD，可得CE:AC=EF:DF=k1,

可得，EF=bk1,DF=ak1.

四邊形BCFD是平行四邊形，可得BC=DF=ak1。

可得AB:AD=AC:AE=BC:DE=a:(a b)

所以，兩個三角形相似。

方法二

這道題主要運用到平行線分線段成比例逆用，也就是，直線分線段成比例，那麼直線平行。

如圖所示，AB:BD=AC:CE，求證：BC//DE.

這個用到反證法。

若BC不平行于DE，那麼過D點作DF//BC,與AE所在的直線相交于F

可得,AB:BD=AC:CF.

因為AB:BD=AC:CE，所以CE=CF，可知E、F兩點重合。

所以BC//DE。

接下來我們來證明方法二

為了方便，還是将兩個三角形合并到一個圖形中。

ΔABC和ΔADE中，AB:AD=AC:AE，求證：ΔABC∽ΔADE。

AB:AD=AC:AE，可得BC//DE，可得∠ABC=∠D。

所以，兩個三角形相似。

方法三

ΔADE和ΔOPQ中,AD:OP=AE:OQ=DE:PQ.

作AB=OP，AC=OQ，

可得，AB:AD=AC:AE，

可得，ΔADE∽ΔABC，

可得，BC:DE=AB:AD=AC:AE。

可得，BC=PQ。

可得，ΔABC全等于ΔOPQ

所以，兩個三角形相似。

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