• 集合，簡稱集，是數學中一個基本概念，是集合論的主要研究對象。關于集合的最簡單的說法就是在樸素集合論（最原始的集合論）中的定義，即集合是“确定的一堆東西”，集合裡的“東西”則稱為元素。現代的集合一般被定義為：由一個或多個确定的元素所構成的整體。
• 集合:“一堆東西”放在一起，稱為集合 (set)，通常用大寫字母表示A。
• 元素 :“一堆東西”裡面的一個稱之為元素 (element)，通常用小寫字母表示a。

a屬于A 寫成a∈A

a不屬于A 寫成a∉A

• 描述方式:列舉和描述，還有圖像法和符号法

列舉 = {1,2,3}

描述={∶ 是有理數}

• 子集:A的每一個元素都在B中，記為 ⊆

相等，記為 =

真子集 ⊆ 且 ≠ ，記為 ⊂

空集 ∅

• 基數集合中元素的數目稱為集合的基數，集合A的基數記作card(A)。當其為有限大時，集合A稱為有限集，反之則為無限集 。一般的，把含有有限個元素的集合叫做有限集，含無限個元素的集合叫做無限集

• 集合運算

交:∩={∶ ∈且∈}

并:∪={∶ ∈或∈}

差:\B={∶ ∈且∉]

• 任意∀
• 存在∃
• 基數:集合中元素的個數稱為集合的基數(又稱為勢)，記為||。
• 常見集合: 自然數 N、整數Z、有理數Q、實數R，複數C

• 确定性

給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬于或者不屬于該集合，二者必居其一，不允許有模棱兩可的情況出現 。

• 互異性

一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素隻能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次 。

• 無序性

一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關系，定義了序關系後，元素之間就可以按照序關系排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。

• 區間 (a,b) [a,b] (a,b] [a,b)
• 鄰域, 0(,)
• 數軸：實數集上的數和數軸上的點一一對應

• 上界:集合 ⊆ R，并且 ≠ ∅，如果存在 ∈ R，使得對于∀ ∈ ，有 ≤ ,則稱有上界，并且說是的一個上界。
• 同理下界定義
• 上确界:設 ⊆ R是一個非空數集，如果 ∈ R滿足(1) 是的一個上界(2) 對∀Ɛ > 0，存在′ ∈ 使得′ > − ，則稱為的上确界， 記為 =
• 下确界: =
• 确界存在定理

非空有上界的實數集必然有上确界，非空有下界的實數集必然有下确界。

• 等勢:集合A到集合B存在雙射，稱A與B等勢，記為 ≈ 。特别地，稱 與自然數集N等勢的集合為可列集。
• Z≈N
• N≈Q
• (0，1) ≈ R

• 三角不等式 | |≤|| ||
• 伯努利(Bernoulli)不等式

• 算數-幾何平均值不等式

• 映射:設A、B是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對A中的每個 元素a，按法則f，在B中有唯一确定的元素b與之對應，則稱f為從 A到B的映射，記作f:A→B。其中b稱為元素a在映射f下的象，記作:b=f(a); a稱為b關于映射f的原象。也稱A為原象集，B為象集。
• 單射(嵌入映射)
• 滿射(到上映射)
• 雙射(一一映射)

• 函數是數集到數集的映射，函數是發生在集合之間的一種對應關系
• 函數: 對于給定的集合 ⊆ R，如果存在一個對應法則，使得對于中的每一個數，在R中存在唯一的數與之對應，則稱對應法則為 從到R的一個函數，記為f∶→R ⟼ = ()其中稱為在的值，稱為函數的定義域，數集{ ∶ ∈ } 稱為函數f的值域，記為(); 稱為自變量，稱為因變量。

• 六類基本初等函數:

• 四則運算

• 複合運算 = 1 (2 ())
• 反函數 如果是雙射，那麼可逆，記為−1
• 基本初等函數經過有限次四則運算和複合所得到的函數稱為初等函數。

• 符号函數

• 高斯(Gauss)取整函數 = []
• 狄利克雷(Dirichlet)函數

• 黎曼(Riemann)函數

設= 定義在上

• 有界性

設函數f（x）在區間X上有定義，如果存在M>0，對于一切屬于區間X上的x，恒有|f（x）|≤M，則稱f（x）在區間X上有界，否則稱f（x）在區間上無界

• 單調性

設函數f（x）的定義域為D，區間I包含于D。如果對于區間上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恒有f（x1）<f（x2），則稱函數f（x）在區間I上是單調遞增的；如果對于區間I上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恒有f（x1）>f（x2），則稱函數f（x）在區間I上是單調遞減的。單調遞增和單調遞減的函數統稱為單調函數

• 周期性

存在>0，使得對于∀∈，有( )=() ，稱T是周期。 e.g.

• 連續性

設f是一個從實數集的子集射到 的函數：f在中的某個點c處是連續的當且僅當以下的兩個條件滿足：f在點c上有定義。c是其中的一個聚點，并且無論自變量x在中以什麼方式接近c，f（x） 的極限都存在且等于f（c）。我們稱函數到處連續或處處連續，或者簡單的連續，如果它在其定義域中的任意點處都連續。更一般地，我們說一個函數在它定義域的子集上是連續的當它在這個子集的每一點處都連續。

• 奇偶性

X關于原點對稱

設f(x)為一個實變量實值函數，若有f(-x)= - f(x)，則f(x)是奇函數

奇函數 = −(−) e.g.

設f(x)為一個實變量實值函數，若有f(x)= f(-x)，則f(x)是奇函數

偶函數 = − e.g.

奇函數的反函數也是奇函數

一個奇函數關于原點對稱，亦即其圖像在繞原點做180度旋轉後不會改變。

一個偶函數關于y軸對稱，亦即其圖在對y軸映射後不會改變

偶函數不可能是個雙射映射

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