在19世紀，數學家們進入了一個神奇的領域。這裡由新的維度、虛數，還有隻有一個面的表面。一馬當先的是德國數學家卡爾·弗雷德裡希·高斯（1777—1855年），有人稱其為“數學王子”。

“數學王子”高斯

高斯是一名數學神童，他3歲時就糾正了爸爸的算術錯誤，7歲時速算出了1到100之間整數的和，令大人們十分吃驚。成年後，他在數論、幾何、統計、天文學與電磁學方面取得了許多突破。

逼近極限

即使是高斯，這個被當時人們認為是那個時代甚至是自古以來最偉大的數學家的人，也遇到了似乎無法逾越的障礙：無窮。

自古希臘時代起，無窮就是個問題。芝諾提出的著名悖論阿基裡斯與烏龜點明了這一問題。比如說，一個數除以無窮（通常用符号∞來表示）應該是多少呢？1除以無窮（1/∞）不能說等于0.然而如果結果哪怕是比0大一點，無窮個累加起來也會得到無窮！

一種繞過這個問題的方法是使用極限。我們先不用無窮去除1，而是用不斷增大的數去除1，這個結果會變得越來越小。函數（1/x）的圖像顯示随着x趨近于無窮，函數值趨近于0，于是我們可以說1/x的極限在x趨近于無窮時趨近于0。

對于增長的函數，例如2x，我們可以說函數值在x趨近于無窮時也趨近于無窮。使用極限看起來躲過了問題，然而，它并沒有解釋究竟什麼是無窮。

“我反對把無窮當成一個實際值來使用”高斯寫道，“這在數學上是不允許的。無窮應當隻是一種說法，這種情況下由的比例可以被無限逼近，有的則會發散，無限增長。”直到集合論出現之後，真正的無窮概念才被數學界接受。集合論是一種邏輯系統，它把所有的整數都看作整數集的子集而整數集是無窮的。此時，數學已經逐漸變成了哲學。

數學的極限

庫爾特·哥德爾與愛因斯坦散步

集合論最終自己定義了數學的極限。在20世紀早期，德國數學家大衛·希爾伯特（1862—1943年）想要建立公理化的屬性基礎，這樣所有數學定理都可以通過少數幾條公理得到證明。然而，他的這一雄心壯志被奧地利數學家庫爾特·哥德爾（1906—1978年）的不完全性定理擊碎了。在許多方面，哥德爾的定理都證明了，可以證明的數學定理的集合隻是所有為真的數學定理的子集，并且這兩個集合是“不重合的”。換句話說，一定存在為真但無法證明的定理，于是希爾伯特的數學夢想也就永遠的破滅了。

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