老黃學高數系列視頻第210講是關于畫函數圖像的一般步驟的内容。為了鞏固這個知識，老黃對各類函數都舉出一些例子，以強化畫函數圖像的能力。這次老黃選擇的是一個帶有根式的函數。它的圖像仍可以用畫圖像的一般步驟來解決。

作函數圖像的一般步驟：1、确定函數的定義域；2、考察函數的奇偶性、周期性；3、求函數的某些特殊點，如與兩個坐标軸的交點，不連續點，不可導點等；4、确定函數的單調區間，極值點，凸性區間以及拐點；5、考察漸近線；6、畫出函數圖象。

練習：按函數作圖的一般步驟，作f(x)=(x-1)x^(2/3)的圖像.

請自己動手，按上面的一般步驟畫出這個函數的圖像。

分析：先觀察函數的定義域，顯然，這個函數在R上都有定義，不存在間斷點。如果有足夠的經驗的話，在這裡就可以判斷函數有不可導點x=0了，因為求導之後，發現導數在x=0沒有定義。

當f(x)=0時，直接可以得到函數的兩個零點x=1和x=0. 說明曲線過原點，且與x軸還有另一個交點(1,0). 這些都是很重要的特殊點，是畫函數圖像的基本依據，可以先在坐标系中标出這些點。

當x不等于0時，函數的導數為f’(x)=x^(2/3) 2(x-1)x^(-1/3)/3=(5x-2)x^(-1/3)/3，當f'(x)=0時，有函數唯一的穩定點x=2/5.

由f'(x)的符号性質可以知道，當x<0或x>2/5時, 函數單調增；當0<x<2/5時, 函數單調減. 又由極值第一充分條件可知，函數有極大值點(0,0)，和極小值點(2/5,-3倍三次根号20 /25).

求函數的二階導數f”(x)=2x^(-1/3)/3 2x^(-1/3/3)-2(x-1)x^(-4/3)/9=(5x 1)x^(-4/3)/9, 由二階函數的符号性質可以知道，當x<-1/5時, 曲線上凸；當x>-1/5時, 曲線下凸，即是凹的.

又函數在x=-1/5連續，所以(-1/5,-6倍三次根号5/25)是函數唯一的拐點。

最後，函數并不存在漸近線。

根據上面推導所得的信息，将函數圖像的性态列表如下：

可以看到，函數在R上有三個關鍵點，一個拐點x=-1/5，一個極大值點x=0和一個極小值點x=2/5. 這三個關鍵點将函數的圖像劃分成四個區間。在最左邊的區間，函數是單調增且上凸的；在第二個區間，函數是單調增且下凸的；在第三個區間，函數是單調減且下凸的；在最右的區間上，函數是單調增且下凸的。

綜上，畫出函數的圖像如圖：

和你畫出來的圖像是否一緻呢？

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