本文主要通過二元函數的極值判定必要條件，介紹計算二元函數f(x,y)= x^2-2xy 2y^2 x-y 2極值的主要過程步驟。
設二元函數z=f(x,y)在點Mo(xo,yo)的某一鄰域内連續,且有連續的一二階偏導數,又Mo(xo,yo)是駐點,令A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),且△=B^2-AC，則：當△<0時,點Mo(x,yo)是極值點.且當A<0時,點Mo(xo,yo)是極大值點;當A>0時，Mo(x,y)是極小值點。
對二元函數f分别對x，y求偏導數，有：
f'x(x,y)=2x-2y 1;
f'y(x,y)=-2x 4y-1,
令f'x(x,y)= f'y(x,y)=0，則有：
2y-2x=1，……(1)
4y-2x=1，……(2)
由方程(1)、(2)可求出：
x0=-1/2，y0=0。
根據二元函數的極值判斷規則，有：
A=f''xx=2；
B=f''xy=-2；
C=f''yy=4.
此時△=B^2-A*C=(-2)^2-2*4=-4＜0，
又因為A=2>0,所以該二元函數有最小值，則函數的極值為：
f(x,y)min=f(x0,y0)
=x0^2-2*x0* y0 2* y0^2 x0-y0 2
=(-1/2)^2-2*(-1/2) 2*0^2 1*(-1/2)-1*0 2
=7/4.
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