本文為“第三屆數學文化征文比賽

極限定義新講：動态定義與靜态定義

作者：李照

作品編号：014

極限，比如說數列極限，簡單講來說的是“當n越來越大時，數列越來越靠近實數L”，是一種動态過程，而其正式定義，也稱為數列極限的(ε, N)定義，卻這麼描述：設為數列，a為定數，若對任給的正數, 總存在正整數,使得當時有 < ，則稱數列收斂于a，定數a稱為數列的極限。

初學者對極限的直觀印象在這種定義裡幾乎完全得不到反映，好多學生看後不知所言為何物，然後卻又不得不馬上拿着這個定義去證明各種極限，即便是最後很機械地、按部就班地湊出了該定義要求的形式，學生們對這一切還是耿耿于懷，不知道自己在幹什麼，究其原因是因為這個定義不夠直觀、不容易從中看出極限的“影子”，更具體來講，極限最初在我們的直觀認識裡是一個動态概念，如本文一開始所說的那樣，它是一種動态過程，但在該定義裡這種動态過程并沒有得到體現，所以這個定義也被稱為極限的靜态（static）定義，本文将提出一種更直觀的數列極限的動态（dynamic）定義，然後闡明它和靜态定義的關系，并提出幾條教學建議。

下文将先用蘇格拉底教學法（Socratic method）行文，旨在通過啟發性的方式一步一步地構建出嚴謹的數列極限動态定義。

師：當n越來越大時，數列{}越來越靠近極限值L。這一現象用數學語言怎麼描述？

生：對于數列中任意一項及其後面任意一項有。如果我們拿這個條件來以作為起點的話，那麼其後必有任意一項滿足，這樣如果先記，，三項的下标p，q，r分别為，，，用同樣的方法後續我們還可以找到，，，以至于有

這實際上是上面的約束條件的另外一種等價表述，該不等式表達了“後面的項總比前面的項更靠近極限”這個意思。

師：如果要讓你的描述對常數數列的極限情況仍然适用，該怎麼修改？

生：那應該改成，即：對于數列中任意一項及其後面任意一項有

師：現在讓我們來看，當越來越大時，也即分母越來越大時，由于分子始終在-1到1之間，所以函數值在越來越大時越來越靠近0。

現在我們構造一數列{}，每個的值均是((n-1)π, nπ)上函數值域中的任意一個，那麼該數列有極限嗎？如果有，極限是多少？

生：有極限，值為0。因為函數值在x越來越大時整體越來越靠近0，從各區間((n-1)π, nπ)上函數值域中任意取出來的值組成的數列也符合這一趨勢，所以數列{}的極限也是0。

師：很好！那對于該數列的極限你之前的數學語言還适用嗎？

生：我發現這種情形下可能會有的情況，而這裡L=0，所以就不會有這個結果了，所以隻有把“任意的”改成“存在”才行，即：對于數列中任意一項，其後總存在使得。

師：對，在極限過程中并非後面的項都比前面的項更靠近極限，而是存在後面的項比前面的項更靠近極限，這個例子加深了我們對極限現象的準确掌握。

生：是的，确實有了進一步的認識。

師：如果将數列{}的前10000項都換為0，那麼這個數列的極限還是不是0的？

生：呃……也是，畢竟極限研究更關心的是數列足夠靠後的所有項的表現，前面有限多項的值是什麼我們并不關心。

師：好，認識到這點之後你剛才的數學語言仍能描述這種情況嗎？

生：不能了，如果，那麼的後面就找不到使得了。所以不能說也是可以任意取的了，的選取要看數列中是否存在有限個（正整數個）值為極限值的項，如果存在，那麼可以要求取數列中值為極限值的最後那一項之後的任意一項，否則的話可任取。所以我的表述可以修改為：對于數列中某項之後的任意（這裡的“某項”要看數列中是否存在正整數個值為L的項來定），其後總存在使得。這裡因為的選取條件導緻整個描述稍顯啰嗦，不夠簡潔，所以可改成另外一種更簡潔的表述：存在 滿足

師：對于數列{}，當n越來越大時，越來越靠近0，但是不是也越來越靠近-1呢？

生：呃……也是啊！

師：你現在的極限語言排除得了這種情況嗎？

生：不能。

師：所以你現在的描述隻反映出總有後面的項比前面的項更接近于L，沒反映出數列{}足夠靠後的所有項可以無限接近L，或者說沒有限制足夠靠後的所有項接近的隻能是L而不是其它數。

生：是哦！那麼我認為還必須要求自某一項之後的所有項和L的差值都小于預先任意指定的足夠小的正數，這一要求用數學符号語言可以表述為：總有某項之後的所有滿足，這裡ε是足夠小的正實數。

師：ε取1可以嗎？

生：呃……也可以，不過1不夠小，換為0.1似乎會更好點。

師：那為什麼0.1可以而1就不妥呢？你判斷的标準是什麼？

生：我隻是憑感覺覺得1似乎不能當作足夠小的正實數，0.1倒是可以。

師：數學理論是不能靠着這種模糊不清的憑感覺的方式提出的，你必須給“足夠小的正實數”一個明确的定義才行。

生：不妨定義任何在内的數都是“足夠小的正實數”，其中是M是預先任意指定的正整數，簡單起見，我們甚至可以直接取ε為，即。這樣前面這個條件就應該改成：總有某項之後的所有滿足，這裡M是預先任意指定的正整數。

師：哈，孺子可教也！

生：承蒙老師指點！

至此，我們就得出了能完全描述數列極限現象的兩個條件：

(1)總有後面的項比前面的項更接近于實數L，對應的數學語言描述是：存在 滿足

(2)足夠靠後的所有項可以接近實數L到任意程度，對應的數學語言描述是：總有某項之後的所有滿足，此處M是預先任意指定的正整數，這裡的“某項”隻能通過解這個不等式來确定。

任何滿足上述兩個條件的實數L就稱為數列{}的極限，極限的動态過程在條件（1）裡得到了反映，所以我們可以把上述兩個條件看作是數列極限的動态定義。

現在讓我們回頭再看最初對數列極限的感性認識：“當n越來越大時，數列{}越來越靠近極限值L”，這種認識反映的隻是上述的條件（1）而疏漏了條件（2），由此可見這種直觀認識的缺陷，作為修正，我們可以這麼說：如果當n越來越大時，數列{}越來越靠近實數L，并且足夠靠後的所有項可以接近實數L到任意程度，則稱L是{}的極限。

再看極限的(ε, N)定義，該定義反映不出極限的動态性，它隻表明對于任給的正數ε總有某項之後的所有滿足，其次，為了說明數列裡足夠靠後的所有項可以接近極限值到任意程度，該定義用了任意指定的正數ε來限定二者間的差距，然而這是一種很松散的、模棱兩可的限定，因為ε即可以往小了取也可以往大了取，自然就不能夠明确反映出“數列裡足夠靠後的所有項可以接近極限值到任意程度”這層意思，所以在本文給出的極限動态定義中直接用取代ε，因為對于，當n越來越大時，便會越來越小，越來越靠近0，變得要多小有多小，所以筆者相信用取代ε能反映出數列裡的項可以接近極限值到任意程度這層意思，請讀者就此再次回顧條件（2）。

實際上有了條件（2）便自然有條件（1），證明：取滿足 的一項為，如果數列中有正整數個值為L的項，那麼可以要求取數列中值為L的最後那一項之後的任意一項，然後取滿足的一項為，取滿足的一項為，…其中均是原數列裡滿足本不等式的任意一項的下标，并且，顯然能滿足條件（1）。所以從邏輯角度來看，條件（1）不是必要的，但如果把條件（1）去掉，那麼極限的“動态性”便得不到反映了。實際上把條件（2）裡的換回ε便是我們既熟悉又陌生的數列極限的(ε, N)定義，也就是說去掉條件（1）之後極限的動态定義就變成了靜态定義，但靜态定義相比于動态定義并不能很貼切地、很直觀地反映極限現象。所以雖然從邏輯角度來看條件（1）是多餘的，但從認知角度來看它的存在卻是大有裨益的——它反映着極限的動态性，它使得極限定義更加符合我們的直觀認識，沒有了它的極限靜态定義會在理解上給學生帶來很大的困難。所以筆者提議：（1）以本文的動态定義作為數列極限的标準定義，因為它使得極限定義更加符合我們的直觀認識，進而就可以避免靜态定義給學生造成的那些理解上的困難；（2）以現在教材裡的(ε, N)定義作為極限值的判定方法，因為它相比極限動态定義更簡潔，用來判定極限自然就比動态定義更方便；（3）如果前兩條建議都得不到采納， 那麼至少應該介紹一下如何從極限動态定義走向靜态定義，否則的話當前不少學生受極限靜态定義之苦的局面仍然得不到解決；（4）函數極限的(ε, δ)定義也同樣給學生們帶來了不符合直覺的困惑，可以考慮用海涅（Eduard Heine）的極限定義來作為函數極限的正式定義（具體是：對于任何一個收斂于的數列{}，且各個，如果數列{}的極限是L，那麼我們說L是在處的極限），因為該定義更能反映出函數極限的動态性。(ε, δ)定義可用來作為判定極限值的方法。

注：

1，數學分析，華東師範大學數學系編，第四版，p23

2，What Is Mathematics? Second Edition, Courant and Robbins, p306

3，說它“熟悉”是因為它是教材中常用的定義，說它“陌生”是因為這個定義不那麼直觀，不能反映極限的“動态性”。

4，Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, p82

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