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一個圓的内接三角形面積都相等嗎

圖文更新时间:2024-07-21 20:17:05

對于這道題的嚴格證明最常見的是利用三角函數不等式證明。下面嘗試利用初中圓的知識點進行證明。

我們先證明如下結論：在圓内所有内接三角形中，隻要任意兩邊不等，則此三角形面積就不是其中最大的。如下圖1，O為半徑為r的圓之圓心，△BCD為圓内接三角形，且邊BD與CD不相等，我們證明存在比△BCD面積大的圓内接三角形。過圓心O作BC的垂線，交BC于N，交D所在弧線（BDC）于A。過D作BC的垂線交BC于M，過圓心O作DM的垂線，垂足為H。

一個圓的内接三角形面積都相等嗎（圓内接三角形中正三角形的面積最大）1

圖1

則四邊形ONMH為矩形，△ODH為直角三角形，故：

AN=AO ON=r HM=OD HM＞DH HM=DM

所以 S△ABC=BC*AN/2 ＞BC*DM/2=S△DBC。故得如下結論：在圓内所有内接三角形中，隻要任意兩邊不等，則此三角形面積就不是其中最大的。那麼我們是否就可以根據這個結論直接說“圓内接三角形中正三角形的面積最大”呢？這個邏輯有沒問題呢？

如果有問題，我們按下面路線再去嘗試證明：對于圓的任意非等腰内接三角形，總有一個等腰三角形的面積比它大（上面已證）；那麼，我們隻要證明任何一個内接等腰三角形的面積總小于等邊三角形即可。

一個圓的内接三角形面積都相等嗎（圓内接三角形中正三角形的面積最大）2

圖2

如圖△ABC為等邊，△AMN為等腰，我們嘗試證明S△ABC ＞S△AMN。連接MC，我們能否證明 S△ABC ＞ S△AMC ，且 S△AMC ＞S△AMN ？（這個結論正确嗎？）這樣就能證明任何一個内接等腰三角形的面積總小于等邊三角形，當然我們還要考慮弦MN>BC時的情形。

附三角函數簡單證明：

S△ABC =absinC/2=(2rsinA)(2rsinB)sinC/2=2r*r sinAsinBsinC

轉化成求sinAsinBsinC的最大值。

sinAsinBsinC ≦ ((sin AsinB sinC)/3)^3 ≦(sin(（A B C）/3))^3

當A=B=C 時等号成立。

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