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如何求隐函數的偏導和全微分

生活更新时间:2025-02-25 12:23:16

上一篇我們解了一道題目：

如何求隐函數的偏導和全微分（如何用偏導數和全微分做近似計算）1

這一篇，我們把它搞複雜一點，給指數也增加一個變量。

如何求隐函數的偏導和全微分（如何用偏導數和全微分做近似計算）2

有同學表示，這回硬算都不行了，3.03次方什麼鬼？

這回要用到偏導數和全微分來近似計算了。

考查一下上面的式子，底數和指數上都有變量，那我們先構建基本函數式，并求偏導數：

如何求隐函數的偏導和全微分（如何用偏導數和全微分做近似計算）3

将常數x=2，y=3分别代入各自的偏導數，得：

如何求隐函數的偏導和全微分（如何用偏導數和全微分做近似計算）4

那麼，用它的全微分近似地求變化值，就得出了所求的值比2^3大多少。

如何求隐函數的偏導和全微分（如何用偏導數和全微分做近似計算）5

還有個對數，好尴尬！還好我們前面講多項式展開的時候，正好解過ln2=0.69314，那就四舍五入直接拿來用了，于是：

如何求隐函數的偏導和全微分（如何用偏導數和全微分做近似計算）6

所以，得：

如何求隐函數的偏導和全微分（如何用偏導數和全微分做近似計算）7

用計算器校核一下，2.02^3.03≈8.42，誤差0.01.

它的幾何意義，就是曲面f(x，y)邊緣在X軸和Y軸兩個方向上的膨脹或收縮。

再舉一個有實物意義的例子。有一個圓柱體，受壓後變形，半徑由30cm增大到30.05cm，高度由100cm減少到99cm，求圓柱體體積變化的近似值。先構建基本函數式，并求偏導數：

如何求隐函數的偏導和全微分（如何用偏導數和全微分做近似計算）8

取r=30，h=100，Δr=0.05，Δh=-1，得：

如何求隐函數的偏導和全微分（如何用偏導數和全微分做近似計算）9

即該圓柱受壓後，體積約減小了600π立方厘米。

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