所謂泛函，是函數空間到數域的映射，如一元函數的泛函：

即泛函J的自變量是一個函數u(x)，J的值是關于u(x)和導數uʹ(x)及其自變量x的函數的積分。不難看出，泛函J的值取決于u(x)的具體形式。現在有個疑問，如果我們知道u(a)和u(b)的值，我們要問當u(x)滿足什麼條件的時候J取得極值呢，或者說怎麼求出J在取得極值時的u(x)呢？

比如著名的最速降線問題就是這樣的一個問題。最速降線問題要找的是這樣一條曲線，小球以相同的起點和終點在以該曲線為形狀的坡面上自由下降所經曆的時間最短（假設沒有摩擦也沒有空氣阻力，如圖所示）。

設曲線為y(x)，根據機械能守恒，勢能的減少等于動能的增加，即

而小球的速度又可以表示為

因此小球自由下降的耗時為

而最速降線就是當上面的泛函J[y(x)]取得極小值時的y(x)。

如果我們将泛函與一般函數做一個對比，那麼類似的問題就是如何求函數的極值點。對于一元函數f(x)，在x處添加擾動δx，其Taylor展開為

如果f(x)在x處取得極小值，那麼應該有

即

為了讓上式對任意擾動δx（即無論正負）都成立，則必須有

至于後面的高階無窮小量，可以忽略。不過如果當fʹ(x)=0時恰好fʺ(x)=0，那麼就需要考慮後面的高階小量了，此時f(x)取極小值的條件就變為

因為(δx)3可能是正或負，為了保證f(x δx)>f(x)對任意擾動δx都成立，就必須令含有(δx)3的項為零，即fʺʹ(x)=0。如果fʺ(x)=0時，fʺʹ(x)≠0，那麼就說明f(x)在x處沒有極值（如下圖所示）。

對于多元函數f(x)，類似地，其在x δx處的Taylor展開如下（隻要對每個自變量xi分别進行Taylor展開，再合并同類項即可）：

其中H(x)為Hessian矩陣：

注意上面式子中：x=(x1,x2,…,xn)T，∇f(x)=(∂f/∂x1,∂f/∂x2,…,∂f/∂xn)。類似一元函數的情形，f(x)取極小值的條件應該是，對任意的δx，有如下式子成立：

即

從上面的一元和多元函數情形分析可以認識到，為了便于分析泛函的極值問題，同樣需要發明類似函數微分的泛函微分——即變分。我們依然以一元函數u(x)的泛函J[u(x)]為例進行讨論。

向u添加一擾動δu，該擾動是一個函數，也可寫成δu(x)=εϕ(x)，即δu會随着ε→0而變成0常量函數。為便于分析，可以令擾動δu(x)在邊界上的值為0。泛函中的被積函數F在擾動下的值為（類比多元函數的Taylor展開）

如果分别定義一階變分和二階變分為：

則泛函的擾動也可寫成類似Taylor展開的形式：

相應地，泛函J取極小值的條件應該為

由δJ[u]=0并利用分部積分可得

由于擾動δu在邊界上的值為0，若要使上式對任意δu成立，則應有

該方程稱為泛函J[u(x)]的Euler-Lagrange方程，其對于u(x)來說是一個常微分方程，通過求解該微分方程就能得到u(x)的表達式。也就是說，通過變分法能将泛函的極值問題轉化為一個微分方程求解問題。

比如對于最速降線問題，相應泛函的被積函數F為

其相應的Euler-Lagrange方程為

化簡得

即

進一步得到

則方程變為

最後解得最速降線y(x)為

下面再來簡單讨論一下有約束條件時的泛函求極值問題。先不妨回憶一下多元函數的條件極值求解過程。比如求f(x,y)在約束條件g(x,y)=0下的極值。我們可以引入Lagrange乘子，定義一個新的函數h(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y)，該函數的取極值條件為

從下圖中可以看到，在h的極值點處，f的等高線與曲線g=0相切，即h取得極值時也正是f在約束g=0下取得極值。h的取極值條件構成一個有關(x,y,λ)的非線性方程組，因此通過引入Lagrange乘子，最終可以将多元函數的條件極值問題轉變為非線性方程組求根問題。

泛函的條件極值問題與多元函數的情形類似，例如求泛函J[u(x)]在約束條件

下的極值，通過引入Lagrange乘子，可以定義新的泛函：

該泛函取極值時正是J[u]取條件極值。因此問題就轉變為求滿足常微分方程：

的所有λ值和對應函數了（如果微分方程和邊界條件都是齊次的，那麼就是本征值和本征函數問題了）。

上面主要介紹了一元函數的泛函極值問題，其實泛函有很多種形式，比如對于依賴高階導數的泛函：

其相應的Euler-Lagrange方程為

對于多元函數的泛函：

其相應的Euler-Lagrange方程為

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