一年級上冊︱為什麼在教學中要引導學生充分地進行操作，如畫和圈？（一年級上冊教材第 5 頁第 1 題），學生直接就可以數出結果，為什麼還要先畫圈？

教材中安排的畫圈作用主要有兩個方面：一是讓學生體會物體的數量與圈的一一對應關系，進而促進學生對數的基數意義的理解。二是從實物到圈，再到寫出數字，也是幫助學生再次經曆數的抽象過程。也就是說，通過上述習題的練習，讓學生體會到每一個圈（有時可用其他圖形符号，如小三角形、小正方形）可以代表單一物體，這樣畫圈的過程，就是讓學生經曆從實物到圖形的半抽象過程。而在此基礎上，再安排寫數，則是從半抽象圖形到數符号的進一步抽象過程，即無論是小圓圈，還是小三角形、正方形的數量，都可以用簡單的數的符号表示。經過這些逐步遞進的活動，将對學生認識數的意義會有較大的幫助，還會促進畫圖能力的形成以及學生思維靈活性的發展。

二年級上冊︱用乘法解決問題，列算式時是否要區分兩個乘數的順序?

根據《标準（2011 年版）》，相乘的兩個數都叫乘數，本套教材中沒有刻意區分原來所說的乘數和被乘數。算式“4×6”，既可以表示 6 個 4 相加，又可以表示 4 個 6 相加，即在不涉及具體問題情境的情況下，可以代表兩個意義：4×6＝6 6 6 6 或 4×6=4 4 4 4 4 4 都是對的。反之，6 個 4（或 4 個 6）相加既可以用 4×6 表示，也可以用 6×4 表示。也就是一種意義可以用兩種方式表示。但在具體的情境中，不同的算式有時表示不同的含義，比如，“有 6 個小朋友，每人有 4 支鉛筆，一共有多少支鉛筆？”4×6 隻代表 6 個 4 相加，當然這個實際問題也可以列出算式“6×4”。

在解決實際問題教學過程時，教師要注意讓學生理解各個數的意義，鼓勵他們用自己的語言表達算式的具體含義，但列成算式後不必強調兩個數的書寫位置。同樣，在分數乘法的内容中，教材也不區分乘數的位置，處理的方法和整數是一樣的，也就是說分數乘整數不但可以表示幾個相同分數的和，還可以表示一個數的幾分之幾是多少。

教材進行這樣的處理在數學中是沒有問題的，主要是為了減少學生在學習中的“人為”障礙。學生在學習乘法時最重要的是體會乘法的意義。

上海市浦東新區教育學院曹培英老師在“關于乘法運算意義與乘法交換律的教學處理”文章的最後談到的一段文字非常有道理，特摘錄部分内容與大家分享：

事實上，面對用情境圖或文字表達的實際問題，如：

或 “每袋有 6 隻橘子，4 袋一共有幾隻橘子”。

學生一般都能分清 6×4 或 4×6 中的 6 表示每袋 6 隻橘子，4 表示有 4 袋。但再進一步要求學生概括：“這是求 4 個 6，而不是求 6 個 4。”就會有學生感到困難。于是，為了幫助這些學生，引進了各種各樣的練習（包括所謂的“文字題”），越練越“玄”，越練要求越高……以往教學中，教學要求把握失當，也是造成或者說擴大“人為教學障礙”的重要因素之一。因此，正确定位“乘法初步認識”的教學目标，是解決問題的一條配套措施。否則，即使從一開始就讓學生認識乘法的可交換性，并取消書寫位置的限制，仍會存在“人為的教學障礙”。

三年級上冊︱教材為什麼設計尋找算式在生活中的原型這樣的題目？教學時如何把握？

數學理解很重要的标志是看學生能否将所理解的概念、規律、算式等内容，通過舉例的方式做出合理解釋。由此本套教材計了“尋找生活中原型”的活動，鼓勵學生根據算式說現實中的“數學故事”，從不同的角度诠釋每個算式所表示的實際含義，促進數學理解，增強應用意識。

随着孩子年齡的增長，找原型的形式也不斷豐富。本冊教材在前幾冊教材的基礎上，根據具體内容，創設了形如：

1．給出算式，到指定的情境中找原型

2．給出兩個例子引導學生繼續尋找算式在生活中的原型

這樣的活動貫穿整冊教材的始終，不失時機地重複出現。教學時應注意，在引導學生尋找生活原型、 講數學故事的過程中，要認真傾聽學生的想法，切忌用統一的方式評價學生，隻要學生用自己的語言把算式的含義表述的完整清晰就可以。在教學“50-4×5”這個算時，先讓學生說一說這個算式的運算順序，先算什麼，再算什麼；然後結合情境圖說明每步表示的意思。如“淘氣想買 5 張票，每張 4 元，他付了 50 元，應該找回多少錢”等。對于學習能力比較強的班級，可以脫離“買票”的情境，找一些生活中能用這些算式解決的實際問題，溝通混合運算與現實生活的聯系。

四年級上冊︱教材為什麼把大數的讀寫放在一起進行教學？在編排這部分内容時，為什麼沒有給出明确的方法？

首先，大數的讀寫對學生來說不是難點，學生學習時可以根據萬以内數的讀寫進行正遷移，所以把大數的讀寫編排在一起學生比較容易理解；其次，讀數、寫數都要與數位順序表結合進行，因此，把大數的讀寫放在一起編排可以起到相互促進的作用。在剛開始教學時，如果個别孩子對大數的讀寫掌握起來有一定的難度，教師也不必急于要求所有學生都一步到位，因為在後面的學習中還會不斷鞏固練習。

學生學習大數的讀寫，要與數位順序表結合進行，以增強學生的直觀感受。同時，教師要讓學生在讀寫的過程中自己嘗試歸納方法，然後再與學生進行交流。與過去的教學相比，教材更加重視讓學生在教師的引導下自主嘗試，體會大數的讀寫方法，而不是急于記憶幾條“讀法”或“寫法”。因此，大數的讀寫方法不要讓學生死記硬背，也不應作為知識點去考核，但可以在學生充分體會的基礎上引導學生用自己的語言歸納。“中間或末尾有 0 的數”的讀寫相對難一些，教學中要重點引導學生在具體的讀數、寫數實踐中逐步體會方法。

五年級上冊︱為什麼教材中沒有出現“整除”這一概念？

首先，在《課程标準（2011 年版）》中，對整除的内容并不做要求。

傳統教材在學習分數的意義之前，一般要安排“數的整除”這一單元，而且會涉及很多概念名詞，如整除、除盡、約數、倍數、奇數、偶數、質數、合數、質因數、互質數、公約數、最大公約數、公倍數、最小公倍數等。如此衆多的概念往往讓學生在學習時感到枯燥乏味，并常常在有關這些概念的判斷題目中出錯，使一部分學生失去了學習數學的信心。然而，在小學階段學習這些内容的作用，最直接的就是在學習分數四則運算的通分和約分，而分數四則運算在日常生活中應用範圍并沒有那樣的廣泛。正因為如此，從《全日制義務教育數學課程标準（實驗稿）》起，就對分數四則運算的通分和約分，以及倍數和因數的相關内容的學習降低了要求。

正是基于課程标準的要求，從兒童的角度出發，新世紀小學數學教材并沒有像傳統教材那樣，從整除的概念入手，從整除出發認識倍數和因數，而是利用整數乘法認識倍數和因數，減少了“整除”“互質數”等多個術語，減輕了學生記憶的負擔。在教學“倍數與因數”時，讓學生根據現實情境列出乘法算式 5×4=20，以此為例說明倍數和因數的含義，引導學生認識倍數與因數，體會倍數與因數的含義，即 20 是 4 的倍數，20 也是 5 的倍數，4 是 20 的因數，5 也是 20 的因數。倍數和因數實際上反映的是整數乘法算式中各個數之間的一種關系，利用乘法算式中積與乘數的關系認識倍數和因數，使學生理解在乘法算式裡，積是每個因數的倍數，每一個因數都是積的因數，并在表述過程中體會倍數與因數的依存關系。這樣把重點放在了對算式意義和數量關系的理解上。

總之，整除的确是一個比較重要的概念，但如果在小學階段學習整除的概念，會帶來一大堆其他的概念和術語。考慮到在小學階段要讓學生學習更為核心的數學内容，也為了讓學生把學習的重點放在對運算意義的理解上，遵循課程标準的精神，教材從整體上降低了要求。

六年級上冊︱如何用圓的知識來解釋，井蓋為什麼是圓的？

首先，我們來回顧一下圓這個圖形的特征：圓有無數條半徑和直徑，在同一個圓内所有半徑（或直徑）的長度都相等，半徑的長度是直徑的一半。

那麼，這些和井蓋有什麼關系呢？關系可大呢！因為圓的每一條直徑都是相等的，井蓋做成圓形的話，無論怎麼放置，蓋子都不會掉到井裡去了。這樣的設計，可是許多設計師多次讨論确定的結果。

從數學的角度分析，井蓋設計成圓的，利用了同一個圓的直徑都相等的特征。隻有圓形的井蓋找不到對角線，這樣無論怎麼移動井蓋，蓋子都不會掉下去，這樣在井下施工的工作人員安全就有保障了。如果是其他的形狀，比如說是方的，井蓋變換一下方向和角度就有可能從井口掉下去（如圖 1，紅方框代表井蓋，黑方塊代表井口，當井蓋豎起來并偏轉 45 度就會掉下去）

圖 1

除此之外，井蓋設計成圓形，也還有其他的理由，比如說圓形的井蓋在運輸過程中，可以滾動起來，這樣就省力多了。再比如說，井有不同的功能，有些需要人工梳理或加線等，這就要求井口的面積盡可能大，而在平面圖形中，當周長相等時，圓形的面積最大，且圓形又最符合人類的體型，便于工作人員進進出出，所以井口設計成圓形最為合理，井蓋當然也要随之設計成圓形的喽！

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