提要

我們在思考問題的時候，若能根據題中的結構特點，把問題中貌似獨立，但實質上又相互聯系的量看成一個整體，從而在宏觀上尋求解決問題的途徑，這種思想方法就稱為整體的思想方法。

知識全解

一．整體法的概念

所謂的整體法，就是研究某些數學問題時，往往不是以問題的某個組成部分為着眼點，而是有意識地放大問題的視角，将要解決的問題看成一個整體，通過研究得到整體形式或整體處理後，達到順利而又簡捷地解決問題的目的。

隻有所求的問題含有（或通過變形含有）已知條件中的“整體”才可以使用整體法。

二．整體法的解題策略

利用整體思想，把一些看似彼此獨立，實質上緊密相連的量作為整體進行處理，不僅會使問題化繁為簡，化難為易，而且有助于培養學生的創造性思維能力，提高分析問題和解決問題的能力。

事實上，有許多數學問題，如果我們糾纏于題目中的“細枝未節”，則解題過程冗繁，還有可能解不出，但若能統觀全局，用整體思想方法來處理，則可化繁為簡，出奇制勝。

學法指導

類型1 整體代入

例1 若a-2b=3，則9-2a 4b的值為___

【解析】把a-2b=3整體代入9-2a 4b=9-2(a-2b) =9-2×3=3

【點評】解決此類的常規方法是先求出a、b的值，然後代入求值，但将已知式整體代入到變形後的求值式，便十分簡捷地求得代數式的值。

類型2 整體換元

【點評】若把已知的兩個方程聯立為方程組，直接求x,y不易求出，同時要檢驗解的合理性。

類型3 整體變形

【點評】把變形後的1/2a-3b看作整體

類型4 整體代換

【點評】這裡體現了一種整體代換的思想，之所以用A表示第一個多項式主要是為了書寫上的方便、運算過程的簡潔，還不容易出錯

類型5 整體加減

【點評】這裡體現的是一種整體合并的思想，當已知出現了兩個方程的時候，可以考慮讓二者相加減得到要求的形式．

類型6 整體補形

例6 如圖所示

已知AD是△ABC的中線，BE交AC于點E,交AD于點F，且 AE=EF，求證：AC=BF

【解析】已知AD是△ABC的中線，可以通過作輔助線将三角形補全為平行四邊形。 如圖所示，延長AD到H，使DH=AD,連接BH、CH

∵BD =DC，DA =DH

∴四邊形ABHC為平行四邊形

∵AC=BH，∠BHD=∠CAD.

又∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA

∵∠EFA=∠BFD

∴∠BHD=∠BFH

∴BF=BH

∴BF=AC．

【點評]按照常規思路，要把AC、BF兩條線段移動到同一個三角形中，或者移動到兩個全等三角形中來證明，但是輔助線不易作，将三角形補全為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊平行且相等，可由等量代換來證得AC= BF。

類型7 整體改造

例7 有甲、乙、丙3種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若購甲4件，乙10件，丙1件，共需4. 20元。現在計劃購甲、乙、丙各一件，共需多少元？

【解析】設購甲、乙、丙各1件分别需x元、y元、z元

解關于x 3y、x y z的二元一次方程組，可得x y z= 1.05

即購甲、乙、丙各一件共需 1.05元，

【點評】因為要求的未知數有3個，而題設條件中隻有兩個等量關系，所以要把甲、乙、丙每件的錢數求出來是不可能的，若把甲、乙、丙各一件的錢數看成一個，問體，問題就可解決。由于所關注的不是x，y，z的值，而是x y z整體的值，故解題目标明确，直奔主題即可。需要說明的是，這裡用到了整體改造，通過改造使得每個方程中都有x y z這個整體，如果把x 3y、x y z設成其他未知數，那麼就是整體換元思想。

類型8 整體合并

例8 已知：實數x、y滿足3x-7y=8，9x-5y=-2，則6x 2y=______

【解析】用9x-5y=-2減去3x-7y=8，可得6x 2y=-10

【點評】本題的常規思路是把3x-7y=8，9x-5y= -2聯立成二元一次方程組，解得x、y的值，再把x、y的值代入6x 2y得到答案，這樣處理雖然也可得到答案，但解題過程要比用整體合并思想繁雜得多

經典例題

例1 利用整體法求值

若實數a、b滿足（4a 4b）（4a 4b-2)-8=0，則a b=____

【解析】将（4a 4b）（4a 4b-2）- 8=0中的4a 4b看作個整體，

∴4a 4b-4=0，或4a 4b 2=0

∴a b=1，或a b=-1/2

【點評】本題中隻有一個方程，卻有兩個未知數a、b，一般情況下，欲求出每個未知數是不可能的，因此考慮把所求的代數式a b整體處理

例2 利用整體法解方程組

【解析】由②得：9(x 2y-3z) 43z=63 ④

将①代入④，得9×（-36） 43z=63

∴z=9

由③，得9x-4（x 2y- 3z）=207 ⑤

将①代入⑤，得9x-4×(-36) =207

∴x=7

将x=7，z=9代入①，得7 2y-3×9=-36

∴y=-8

【點評】本題打破了傳統的“消元”常規，視'x 2y-3z"為整體，使解方程組變更得輕松簡便，這種運用整體思想解方程組的方法，實質上是一種技巧，是對特定的方程組而言的。

例3 利用整體法求陰影面積

如圖所示，

分别以n邊形的頂點為圓心，以單位為1的半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為___ 個平方單位

【解析】觀察圖形，陰影部分由n個扇形組成，若分别求出每一個扇形的面積然後求和是很難實現的。因此可整體思考：由于這n個圓的半徑都相等，且這n個圓心角度數之和正好是n邊形的外角和等于360度進而可解得：

【點評】本題運用整體處理的技巧，使看似困難的問題簡捷獲解

例4 利用整體法解反比例函數問題

如圖所示，

已知雙曲線y=k/x(x>0)經過矩形OABC的邊AB、BC的中點F、E，且四邊形OEBF的面積為2，則k=___

【解析】設B點的坐标為( 2a，2b)，則E點的坐标為(a, 2b)，F點的坐标為（2a，b），所以k=2ab

因為4ab-1/2×2ab×2=2，所以2ab=2，即k=2

【點評】本題若直接計算k的值比較麻煩，采用的方法是首先設出點B的坐标，借助于坐标表示出圖形的面積，整體求解．

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