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初中幾何輔助線—克勝秘籍

等腰三角形

1. 作底邊上的高，構成兩個全等的直角三角形，這是用得最多的一種方法；
2. 作一腰上的高；

3 .過底邊的一個端點作底邊的垂線，與另一腰的延長線相交，構成直角三角形。

梯形

1. 垂直于平行邊

2. 垂直于下底，延長上底作一腰的平行線

3. 平行于兩條斜邊

4. 作兩條垂直于下底的垂線

5. 延長兩條斜邊做成一個三角形

菱形

1. 連接兩對角 2. 做高

平行四邊形

1. 垂直于平行邊

2. 作對角線——把一個平行四邊形分成兩個三角形

3. 做高——形内形外都要注意
矩形

1. 對角線 2. 作垂線

很簡單。無論什麼題目，第一位應該考慮到題目要求，比如AB=AC BD....這類的就是想辦法作出另一條AB等長的線段，再證全等說明AC BD=另一條AB,就好了。還有一些關于平方的考慮勾股，A字形等。

三角形
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線（垂線段相等）。
也可将圖對折看，對稱以後關系現。
角平分線平行線，等腰三角形來添。
角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。
三角形中兩中點，連接則成中位線。
三角形中有中線，延長中線等中線。

解幾何題時如何畫輔助線?

①見中點引中位線，見中線延長一倍
在幾何題中，如果給出中點或中線，可以考慮過中點作中位線或把中線延長一倍來解決相關問題。

②在比例線段證明中，常作平行線。
作平行線時往往是保留結論中的一個比，然後通過一個中間比與結論中的另一個比聯系起來。

③對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有
1、過上底的兩端點向下底作垂線
2、過上底的一個端點作一腰的平行線
3、過上底的一個端點作一對角線的平行線
4、過一腰的中點作另一腰的平行線
5、過上底一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相交
6、作梯形的中位線
7、延長兩腰使之相交

四邊形
平行四邊形出現，對稱中心等分點。
梯形裡面作高線，平移一腰試試看。
平行移動對角線，補成三角形常見。
證相似，比線段，添線平行成習慣。
等積式子比例換，尋找線段很關鍵。
直接證明有困難，等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線

初中數學輔助線的添加淺談

人們從來就是用自己的聰明才智創造條件解決問題的，當問題的條件不夠時，添加輔助線構成新圖形，形成新關系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。

一．添輔助線有二種情況：

1按定義添輔助線：

如證明二直線垂直可延長使它們,相交後證交角為90°；證線段倍半關系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關系也可類似添輔助線。

2按基本圖形添輔助線：

每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規律可循。舉例如下：

（1）平行線是個基本圖形：

當幾何中出現平行線時添輔助線的關鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線

（2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：

當幾何問題中出現一點發出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：

出現等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形

出現直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現線段倍半關系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。

（5）三角形中位線基本圖形

幾何問題中出現多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當有中點沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當出現線段倍半關系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當出現線段倍半關系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。

（6）全等三角形：

全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉形與平移形等；如果出現兩條相等線段或兩個檔相等角關于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或将三角形沿對稱軸翻轉。當幾何問題中出現一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是将四個端點兩兩連結或過二端點添平行線

（8）特殊角直角三角形

當出現30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2；30度角直角三角形三邊比為1：2：√3進行證明

二．基本圖形的輔助線的畫法

1.三角形問題添加輔助線方法

方法1：有關三角形中線的題目，常将中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結論恰當的轉移，很容易地解決了問題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質和題中的條件，構造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。

方法3：結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形，或利用關于平分線段的一些定理。

方法4：結論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。

2.平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：

（1）連對角線或平移對角線：

（2）過頂點作對邊的垂線構造直角三角形

（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段平行或中位線

（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形。

（5）過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等.

3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加适當的輔助線将梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：

（1）在梯形内部平移一腰。

（2）梯形外平移一腰

（3）梯形内平移兩腰

（4）延長兩腰

（5）過梯形上底的兩端點向下底作高

（6）平移對角線

（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。

（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。

（9）作中位線

當然在梯形的有關證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，将梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關鍵。

作輔助線的方法

一：中點、中位線，延線，平行線。

如遇條件中有中點，中線、中位線等，那麼過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應用某個定理或造成全等的目的。

二：垂線、分角線，翻轉全等連。

如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉180度，得到全等形，，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。

三：邊邊若相等，旋轉做實驗。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然後把圖形旋轉一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉兩種。

四:造角、平、相似，和、差、積、商見。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見。”

托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分别是造角和平移的代表）

九：面積找底高，多邊變三邊。

如遇求面積，（在條件和結論中出現線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。

如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。

另外，我國明清數學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數為“面積找底高，多邊變三邊”。

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