有理數經典題型100例?1整 式 的 乘 除，我來為大家講解一下關于有理數經典題型100例?跟着小編一起來看一看吧!

有理數經典題型100例

1

整 式 的 乘 除

知識點歸納：

回顧：代數式

1、單項式的概念

由數與字母的乘積構成的代數式叫做單項式。

單項式的數字因數叫做單項式的系數，所有字母指數和叫單項式的次數。

次數如何判斷？

如： bca 22 的 系數為 2 ，次數為 4，單獨的一個非零數的次數是 0。

單獨的數字或字母也稱單項式

2、多項式的概念

幾個單項式的和叫做多項式。

多項式中每個單項式叫多項式的項，次數最高項的次數叫多項式的次數。

次數如何判斷？

二次項、一次項……判斷根據？

如： 122  xaba ，項有 2a 、 ab2 、 x、1，二次項為 2a 、 ab2 ，一次項為 x，

常數項為 1，各項次數分别為 2，2，1，0，系數分别為 1，-2，1，1，叫二次四項式。

3、整式：單項式和多項式統稱整式。

代數式分類總結

2

注意：凡分母含有字母代數式都不是整式。也不是單項式和多項式。

4、多項式按字母的升（降）幂排列：

如： 122 3223  yxyyxx

按 x的升幂排列： 3223 221 xyxxyy 

按 x的降幂排列： 122 3223  yxyyxx

5、同底數幂的乘法法則

什麼是同底數幂？

3

同底數幂中的底數可以是具體的數字，也可以是單項式或多項式，但 和 不是

同底數幂。

nmnm aaa  （ nm, 都是正整數）解釋

結論：

同底數幂相乘，底數不變，指數相加。注意底數可以是多項式或單項式。

如： 532 )()()( bababa 

1．填空：

（1）ma 叫做 a的 m次幂，其中 a叫幂的________，m叫幂的________；

（2）寫出一個以幂的形式表示的數，使它的底數為 c，指數為 3，這個數為________；

（3）4)2( 表示________， 42 表示________；

（4）根據乘方的意義，3a ＝________，

4a ＝________，因此43 aa  ＝

)()()( 

2．計算：

（1）  64 aa （2）  5bb

（3）  32 mmm （4）  953 cccc

（5）  pnm aaa （6）  12mtt

（7）  qqn 1 （8） 

  112 pp nnn3．計算：

（1）   23 bb （2）  3)( aa

（3）  32 )()( yy （4）  

43 )()( aa

（5）   24 33 （6）  67 )5()5(

4

（7）  32 )()( qq n （8）  

24 )()( mm

（9）  32 （10）  54 )2()2(

（11）  69 )( bb （12）   )()(

33 aa

4．下面的計算對不對？如果不對，應怎樣改正？

（1）523 632  ； （2）

633 aaa  ；

（3）nnn yyy 22 ； （4）

22 mmm  ；

（5）422 )()( aaa  ； （6）

1243 aaa  ；

（7）33 4)4(  ； （8）

632 7777  ；

（9）32 nnn  ．

5．選擇題：

（1）22 ma 可以寫成（ ）．

A．12 ma B．

22 aa m  C．22 aa m  D． 12  maa

（2）下列式子正确的是（ ）．

A． 4334  B．

44 3)3(  C．44 33  D．

34 43 

（3）下列計算正确的是（ ）．

A．44 aaa  B． 844 aaa 

C．444 2aaa  D．

1644 aaa 

6、幂的乘方法則

mnnm aa )( （ nm, 都是正整數）解釋

5

結論：

幂的乘方，底數不變，指數相乘。如： 1025 3)3( 

幂的乘方法則可以逆用：即 mnnmmn aaa )()( 

如： 23326 )4()4(4  已知：2 3a  ，32 6b  ，求 3 102 a b 的值；

7、積的乘方法則

nnn baab )( （ n是正整數）解釋

結論：

積的乘方，等于各因數乘方的積。

如：（ 523 )2 zyx = 51015552535 32)()()2( zyxzyx 

8、同底數幂的除法法則

nmnm aaa  （ nma ,,0 都是正整數，且 )nm  解釋

結論：

同底數幂相除，底數不變，指數相減。如： 3334 )()()( baababab 

1.

2 21( )3ab c

=________,2 3( )na a =_________.

2.5 23 7( ) ( )p q p q         =_________,

2 3( ) 4n n n na b .

3.3 ( ) 2 14( )a a a  .

4.2 3 2 2 2(3 ) ( )a a a  =__________.

6

5.2 2 1( ) ( )n nx y xy  =__________.

6.

100 1001( ) ( 3)3

 =_________,

2 2004 2003{ [ ( 1) ] }   =_____.

7.若 2, 3n nx y  ,則 ( )

nxy =_______,2 3( )nx y =________.

8.若4 3128 8 2n  ,則 n=__________.

（二）、選擇題

9.若 a為有理數,則3 2( )a 的值為( )

A.有理數 B.正數 C.零或負數 D.正數或零

10.若3 3( ) 0ab  ,則 a與 b的關系是( )

A.異号 B.同号 C.都不為零 D.關系不确定

11.計算8 2 3 3 2( ) ( ) [( ) ]p p p     的結果是( )

A.-20p B.

20p C.-18p D.

18p

12.4 4x y = ( )

A.16xy

B. 4xy C.16x y

D.2( )2 x y

13.下列命題中,正确的有( )

①3 3( )m n m nx x   ,②m為正奇數時,一定有等式 ( 4) 4

m m   成立,

③等式 ( 2) 2m m  ,無論 m為何值時都不成立

④三個等式:2 3 6 3 2 6 2 3 6( ) , ( ) ,[ ( )]a a a a a a       都不成立( )

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

14.已知│x│=1,│y│=12 ,則

20 3 3 2( )x x y 的值等于( )

A.-

34 或-

54 B.

34 或

54 C.

34 D.-

54

7

15. 已知55 44 332 , 3 , 4a b c   ,則 a、b、c的大小關系是( )

A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.a<b<c

16.計算6 20.25 ( 32)  等于( )

A.-

14 B .

14 C.1 D.-1

（三）、解答題

17.計算

(1)4 2 2 4 2 2 3 3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x         ;

(2)

3 1 2 3 1 21( ) (4 )4

n m na b a b    ;

(3)2 1 12 16 8 ( 4 ) 8m m m m      (m為正整數).

18.已知10 5,10 6a b  ,求(1)

2 310 10a b 的值;(2)2 310 a b 的值

8

19.比較1002 與

753 的大小

20.已知3 33, 2m na b  ,求

2 3 3 2 4 2( ) ( )m n m n m na b a b a b     的值

21.若 a=-3,b=25,則1999 1999a b 的末位數是多少?

9、零指數和負指數

10 a

任何不等于零的數的零次方等于 1。

pp

aa

1 （ pa ,0 是正整數）

一個不等于零的數的 p 次方等于這個數的 p次方的倒數。

如：81

)21(2 33 

9

10、科學記數法

如：0.00000721=7.21 610 （第一個不為零的數前面有幾個零就是負幾次方）

11、單項式的乘法法則

單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分别相乘，對于隻在一個單項式裡

含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。

注意：

①積的系數等于各因式系數的積，先确定符号，再計算絕對值。

②相同字母相乘，運用同底數幂的乘法法則。

③一個單項式裡含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式

④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣适用。

⑤單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。

如：  xyzyx 32 32

12、單項式乘以多項式

單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，

即 mcmbmacbam  )( ( cbam ,,, 都是單項式)

注意：

①積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同。

②運算時要注意積的符号，多項式的每一項都包括它前面的符号。

③在混合運算時，要注意運算順序，結果有同類項的要合并同類項。]

如： )(3)32(2 yxyyxx 

10

13、多項式與多項式相乘的法則

多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的

的積相加。

如： )6)(5(2)3)(23(1  xxbaba 、、

14、平方差公式

22))(( bababa 

注意平方差公式展開隻有兩項

公式特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項

互為相反數。右邊是相同項的平方減去相反項的平方。

如：（a b－1）（a－b 1）= 。計算(2x y-z 5)(2x-y z 5)

15、完全平方公式

222 2)( bababa 

公式特征：左邊是一個二項式的完全平方，右邊有三項，其中有兩項是左邊二項式

中每一項的平方，而另一項是左邊二項式中兩項乘積的 2倍。

注意：

abbaabbaba 2)(2)( 2222 

abbaba 4)()( 22 

11

222 )()]([)( bababa 

222 )()]([)( bababa 

完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的 2倍。

如：⑴、試說明不論 x,y取何值，代數式 2 2 6 4 15x y x y    的值總是正數。

⑵、已知2( ) 16, 4,a b ab   求

2 2

3a b

與2( )a b 的值.

16、三項式的完全平方公式

bcacabcbacba 222)( 2222 

17、單項式的除法法則

單項式相除，把系數、同底數幂分别相除，作為商的因式，對于隻在被除式裡含有

的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。

注意：首先确定結果的系數（即系數相除），然後同底數幂相除，如果隻在被除式裡

含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式

如：    bamba 242 497 

18、多項式除以單項式的法則

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的的商相加。

即： cbamcmmbmmammcmbmam  )(

12

方法總結：①乘法與除法互為逆運算。 ②被除式=除式×商式 餘式

例如：已知一個多項式除以多項式 2 4 3a a  所得的商式是 2 1a  ，餘式是 2 8a  ，

求這個多項式。

單項式與多項式的乘法複習題

1、若    21 2 1x x ax   的展開式中 2x 項的系數為-2，則 a的值為 。

2、若    2 1x kx  化簡後的結果中不含有 x的一次項，則 k的值為 。

3、若M 、 N 分别是關于 x的 7次多項式與 5次多項式，則MN （ ）。A. 一定是 12次多項式 B. 一定是 35次多項式C.一定是不高于 11次的多項式 D.無法确定

4、多項式 2 23 2x kn k  能被 1x  整除，那麼 k的值為 。

5、若等式    2 35 5 7x mx x x     成立，則m的值為 。

6、已知 2 0a b  ，求  3 32 4 8a ab a b b    的值。

7、已知 2 1 0m m   ，求 3 22 2014m m  的值。

13

8、已知 2 2 1 0x x   ，求 3 22 3 4 2x x x   的值。

9、已知     2 24 6x ay x by x xy y     ，求代數式  3 2a b ab  的值。

10、若    2 23 3x nx x x m    的乘積中不含 2x 和 3x 項，求m和 n的值

怎樣熟練運用公式：

（一）、明确公式的結構特征

這是正确運用公式的前提，1如平方差公式的結構特征是：符号左邊是兩個二項式相

乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數；等号右邊是乘式中兩項的平

方差，且是相同項的平方減去相反項的平方．明确了公式的結構特征就能在各種情況下

正确運用公式．

（二）、理解字母的廣泛含義

乘法公式中的字母 a、b可以是具體的數，也可以是單項式或多項式．理解了字母含

義的廣泛性，就能在更廣泛的範圍内正确運用公式．如計算（x 2y－3z）2，若視 x 2y

為公式中的 a，3z 為 b，則就可用（a－b）2=a2－2ab b2來解了。

14

（三）、熟悉常見的幾種變化

有些題目往往與公式的标準形式不相一緻或不能直接用公式計算，此時要根據公式

特征，合理調整變化，使其滿足公式特點．

常見的幾種變化是：

1、位置變化 如（3x 5y）（5y－3x）交換 3x 和 5y 的位置後即可用平方差公式計算

了．

2、符号變化 如（－2m－7n）（2m－7n）變為－（2m 7n）（2m－7n）後就可用平方

差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）

3、數字變化 如 98×102，992，912等分别變為（100－2）（100 2），（100－1）2，（90 1）

2後就能夠用乘法公式加以解答了．

4、系數變化 如（4m 2n ）（2m－

4n ）變為 2（2m

4n ）（2m－

4n ）後即可用平方差公

式進行計算了．

5、項數變化 如（x 3y 2z）（x－3y 6z）變為（x 3y 4z－2z）（x－3y 4z 2z）後

再适當分組就可以用乘法公式來解了．

（四）、注意公式的靈活運用

有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當的公式以使計算更簡便．如

計算（a2 1）2·（a2－1）2，若分别展開後再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則後

再進一步計算，則非常簡便．即原式=[（a2 1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4 1．

對數學公式隻會順向（從左到右）運用是遠遠不夠的，還要注意逆向（從右到左）

運用．如計算（1－ 221 ）（1－ 23

1 ）（1－ 241 ）…（1－ 29

1 ）（1－ 2101 ），若分别算出各因式的

值後再行相乘，不僅計算繁難，而且容易出錯．若注意到各因式均為平方差的形式而逆

用平方差公式，則可巧解本題．

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