"圓"是一個完美的圖形，在初中數學中具有豐富内容，其中大部分是與角度相關性質，如在圓周角中能輕易找到，等角和直角并與圓心角聯系也比較緊密 ，通過在圖形中構造輔助圓往往能獲得意想不到的效果，如果題目中出現了以下條件：三點及三點以上到同一點距離相等，作輔助圓；同一側有相等的角，或者需要構造出相等的角時，作輔助圓；若一個四邊形的一組對角互補，則它的四個頂點共圓．

在這些情況下，借助圓去解決一些問題都是非常好的一個選擇，下面舉例說明這三種構造輔助圓解題的模型應用。

類型1　根據共端點等線段模型，根據圓的定義構造圓

如圖，已知OA＝OB＝OC，且∠AOB＝k∠BOC，則∠ACB是∠BAC的（ ）

A．k/2倍 B．k倍 C．2k D．1/k

【分析】由OA＝OB＝OC，得到A，B，C在以O為圓心的同一個圓上，則∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即可得到∠ACB＝k∠BAC．

【解答】∵OA＝OB＝OC，∴A，B，C在以O為圓心的同一個圓上，如圖，

∴∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，

而∠AOB＝k∠BOC，即2∠ACB＝k•2∠BAC，∴∠ACB＝k∠BAC．故選：B．

2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，将△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是（ ）

A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不對

【分析】先依據勾股定理求得AB的長，然後依據翻折的性質可知PF＝FC，故此點P在以F為圓心，以2為半徑的圓上，依據垂線段最短可知當FP⊥AB時，點P到AB的距離最短，然後依據題意畫出圖形，最後，利用相似三角形的性質求解即可．

【解答】如圖所示：當PE∥AB．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理可求得AB＝10，

由翻折的性質可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．

∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂線段最短可知此時FD有最小值．

又∵FP為定值，∴PD有最小值．

又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．

∴AF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：DF＝3.2．

∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故選：B．

3.如圖2所示,在凸四邊形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,則∠ADC的度數為_____

【解析】∵AB＝BC＝BD，

得到A，C，D在以B為圓心的同一個圓上，

∴∠ACD=1/2∠ABD, ∠DAC=1/2∠DBC,

∵∠ABC=∠ABD ∠DBC =80°,

∴∠ACD ∠DAC=1/2∠ABD 1/2∠DBC=1/2(∠ABD ∠DBC)= 1/2×80°=40°,

∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC ∠ACD）＝180°﹣40°＝140°．

故答案為：140．

4. 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，則∠BDC＝____ 度，∠DBC＝______ 度．

【解析】法一：∵AB＝AC＝AD，∴點B，C，D在以A為圓心的圓上，

∵∠BAC＝25°，∴∠BDC＝1/2∠BAC＝12.5°，

∵∠CAD＝75°，∴∠DBC＝1/2∠CAD＝37.5°．

故答案為：12.5，37.5．

法二：∵AB＝AC＝AD，

∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，

∵∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，

∴∠ACB＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠DAB＝∠DAC ∠CAB＝100°，

∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，

∴∠ADB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，

∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°﹣40°＝12.5°，

∠DCB＝∠DCA ∠ACB＝52.5° 77.5°＝130°，

∴∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．

∴∠BDC＝12.5°，∠DBC＝37.5°．

類型2 直角模型，依據直徑所對的圓周角是直角，構造三角形的外接圓解題

5. 如圖所示，矩形ABCG與矩形CDEF全等，點BCD在一條直線上，∠APE的頂點P在線段BD上移動，使得∠APE為直角的點P的個數是______ 個．

【分析】∵∠APE的頂點P在線段BD上移動，且∠APE為直角，∴點P也在以AE為直徑的⊙O的圓上運動；∴以AE為直徑作⊙O，⊙O與BD的交點即為所求．

【解答】∵點BCD在一條直線上，∠APE的頂點P在線段BD上移動，∠APE為直角，∴點P在以AE為直徑的⊙O的圓上運動，∴點P就是⊙O與BD的交點，由圖示知，BD與⊙O有2個交點．故答案為：2．

【點評】本題主要考查了圓周角定理：直徑所對的圓周角是直角．解答該題時，采用了"數形結合"的數學思想．

6. 已知：如圖，直尺的寬度為2，A、B兩點在直尺的一條邊上，AB＝6，C、D兩點在直尺的另一條邊上．若∠ACB＝∠ADB＝90°，則C、D兩點之間的距離為________ ．

【分析】由∠ACB＝∠ADB＝90°，根據90°的圓周角所對的弦是直徑，可得A，B，C，D在以AB為直徑的圓上，C，D即是此圓與直尺的交點，設E為AB中點，可得EC是半徑為3，然後作EF⊥CD交CD于F，根據垂徑定理可得：CD＝2CF，然後由勾股定理求得CF的長，繼而求得答案．

【解答】設E為AB中點，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A，B，C，D在以AB為直徑的圓上，

連接DE，CE，則CE＝DE＝1/2AB＝3，作EF⊥CD交CD于F，∴CD＝2CF，

∵AB∥CD，∴EF＝2，在Rt△CFE和Rt△DFE中，CF＝√5，∴CD＝2√5．故答案為：2√5．

【點評】此題考查了圓周角定理，垂徑定理以及勾股定理等知識．此題拿度适中，解題的關鍵是由∠ACB＝∠ADB＝90°，根據90°的圓周角所對的弦是直徑，得到A，B，C，D在以AB為直徑的圓上．

7. 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上的動點（與點B、C不重合）

（1）如圖，當PQ∥AC，且Q為BC的中點時，求線段CP的長；

（2）當PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值範圍；若不可能，請說明理由．

【分析】（1）根據平行線等分線段定理得到點P是斜邊的中點，再直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，要求線段CP的長，隻需根據勾股定理求得AB的長．

（2）若PQ與AC不平行，則要使△CPQ成為直角三角形．隻需保證∠CPQ＝90°．根據直徑所對的圓周角是直角，則分析以CQ為直徑的圓和斜邊AB的公共點的情況：一是半圓和AB相切；二是半圓和AB相交．首先求得相切時CQ的值，即可進一步求得相交時CQ的範圍．

【解答】（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13；

∵Q是BC的中點，∴CQ＝QB；

又∵PQ∥AC，∴AP＝PB，即P是AB的中點，∴Rt△ABC中，CP＝13/2．

（2）當AC與PQ不平行時，隻有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形．

以CQ為直徑作半圓D，

①當半圓D與AB相切時，設切點為M，連接DM，則

DM⊥AB，且AC＝AM＝5，∴MB＝AB﹣AM＝13﹣5＝8；

設CD＝x，則DM＝x，DB＝12﹣x；

在Rt△DMB中，DB²＝DM² MB²，

即（12﹣x）²＝x² 8²，解之得x＝10/3，∴CQ＝2x＝20/3；

即當CQ＝20/3且點P運動到切點M位置時，△CPQ為直角三角形．

②當20/3＜CQ＜12時，半圓D與直線AB有兩個交點，當點P運動到這兩個交點的位置時，△CPQ為直角三角形

③當0＜CQ＜20/3時，半圓D與直線AB相離，即點P在AB邊上運動時，均在半圓D外，∠CPQ＜90°，此時△CPQ不可能為直角三角形．

∴當20/3≤CQ＜12時，△CPQ可能為直角三角形．

8.已知平面直角坐标系中兩定點A(-1,0),B(4,0),抛物線y=ax² bx-2過點A,B,頂點為C,點P(m,n)為抛物線上一點,其中n<0.

(1)求抛物線的解析式和頂點C的坐标;

(2)當∠APB為鈍角時,求m的取值範圍.

【分析】（1）利用待定系數法求出解析式，再利用x＝0得出y的值即可得出C點坐标．

（2）因為AB為直徑，所以當抛物線上的點P在⊙C的内部時，滿足∠APB為鈍角，進而得出m的取值範圍；]

解:(1) （1）∵抛物線y＝ax² bx﹣2（a≠0）過點A，B，

∴a-b-2=0, 16a 4b-2=0，解得：a=1/2, b=-3/2，

∴抛物線的解析式為：y＝1/2x²﹣3/2x﹣2，

當x＝0時，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；

(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物線與y軸的交點D的坐标為(0,-2),如圖,

抛物線的對稱軸與x軸的交點為M(3/2,0),

∵AD²=1² 2²=5,AB²=(4 1) ²=25,BD²=4² 2²=16 4=20,則AD² BD²=AB²,

由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M為圓心,以MA為半徑作圓,則☉M經過點D,則☉M内抛物線上的所有的點都可以是P點,且使∠APB為鈍角,

根據抛物線及圓的對稱性,☉M與抛物線的另一個交點坐标為(3,-2),

則滿足條件的m的取值範圍為:-1<m<0或3<m<4.

類型3　四點共圓模型

(1)若一個四邊形的一組對角互補,則它的四個頂點共圓;

(2)動點對定線段所張的角為定值.

9. 如圖2，在平面直角坐标系xOy中，點A的坐标為（0，m），點B的坐标為（0，n），其中m＞n＞0．點P為x軸正半軸上的一個動點，當∠APB達到最大時，直接寫出此時點P的坐标．

【解析】當以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，對應的∠APB最大，根據垂徑定理和勾股定理即可求解．當以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，作CD⊥y軸，連接CP、CB．

∵A的坐标為（0，m），點B的坐标為（0，n），

10. 在平面直角坐标系中，已知點A（4，0）、B（﹣6，0），點C是y軸上的一個動點，當∠BCA＝45°時，點C的坐标為_______ ．

【分析】如解答圖所示，構造含有90°圓心角的⊙P，則⊙P與y軸的交點即為所求的點C．

注意點C有兩個．

【解答】設線段BA的中點為E，∵點A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．

（1）如答圖1所示，過點E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝1/2AB＝5，則易知△PBA為等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5√2；

以點P為圓心，PA（或PB）長為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點C，

∵∠BCA為⊙P的圓周角，∴∠BCA＝1/2∠BPA＝45°，即則點C即為所求．

過點P作PF⊥y軸于點F，則OF＝PE＝5，PF＝1，

在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5√2，由勾股定理得：CF＝7，

∴OC＝OF CF＝5 7＝12，

∴點C坐标為（0，12）；

（2）如答圖2所示，在第3象限可以參照（1）作同樣操作，同理求得y軸負半軸上的點C坐标為（0，﹣12）．

綜上所述，點C坐标為（0，12）或（0，﹣12）．

故答案為：（0，12）或（0，﹣12）．

【點評】本題難度較大．由45°的圓周角聯想到90°的圓心角是解題的突破口，也是本題的難點所在．

11. 已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是邊AB上一中點，将△CAD繞C逆時針向旋α得到△CEF，其點E是點A的對應點，點F是點D的對應點．DF與AE交于點M；當α從90°變化到180°時，點M運動的路徑長為 ______．

【分析】先證明A、D、M、C四點共圓，得到∠CMF＝∠CAD＝45°，即可推出點M在以AC為直徑的⊙O上，運動路徑是弧CD，利用弧長公式即可解決問題．

【解答】∵CA＝CE，CD＝CF，∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD

∵∠ACD＝∠ECF，∴∠ACE＝∠DCF，

∵2∠CAE ∠ACE＝180°，2∠CDF ∠DCF＝180°，∴∠CAE＝∠CDF，

∴A、D、M、C四點共圓，∴∠CMF＝∠CAD＝45°，∴∠CMD＝180°﹣∠CMF＝135°．

（補充：不用四點共圓的方法：由△OAC∽△ODM，推出△AOD∽△COM，推出∠OCM＝∠OAD，即可證明∠CMF＝∠CDM ∠DCM＝∠CAO ∠OAD＝∠CAD＝45°）

∵O是AC中點，連接OD、CM．∵AD＝DB，CA＝CB，

∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，

∵A、D、M、C四點共圓，∴當α從90°變化到180°時，

點M在以AC為直徑的⊙O上，運動路徑是弧CD，

【點評】本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質、平行線的判定和性質、弧長公式、四點共圓等知識，解題的關鍵是發現A、D、M、C四點共圓，最後一個問題的關鍵，正确探究出點M的運動路徑，記住弧長公式，屬于中考壓軸題．

總結：圓是我們初中階段學習的唯一一個曲線圖形，除了它本身的基本性質和計算常被考察到以外，還可以用作輔助線。除了我們已知一條線段進行等腰三角形和直角三角形所使用的"兩圓一垂"和"兩垂一圓"以外，在涉及到一些動點相關的最值問題時，也特别常用，這時候我們需要的圓并不存在(有時題設中沒有涉及圓；有時題目中雖然題設涉及圓，但是此圓并不是我們需要用的圓)，這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實際存在的圓找出來，畫出來。

上面講述了常見的可以添加輔助圓的方法，具體歸納如下：

1．利用圓的定義添補輔助圓

到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法．簡而言之，就是三點及三點以上到同一點距離相等，作輔助圓。

2．作三角形的外接圓

任意不在同一直線上的三點共圓，但是我們最常見到的确實是利用圓周角定理的推論，直角三角形在以斜邊為直徑的圓上。

3．四點共圓

(1)若一個四邊形的一組對角互補，則它的四個頂點共圓．這是由書上圓内接四邊形對角互補的性質拓展出來的一個應用，前者在中考中出現頻率特别大，我甚至跟我學生說隻要出現了内接和四邊形等字眼，一定要想着去應用這條性質。而由此拓展出來的一條判定四點共圓的方法在我們解決線段長度和最值相關的問題時，特别好用。

(2)同底同側有相等頂角的三角形，則各頂點四點共圓（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）判斷四點共圓後，就可以借助過這四點的輔助圓解題。這也是我們非常常見的一類共圓問題，還可以拓展到利用圓來構造相等的角。

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