作為近代物理最受矚目的理論成果之一，狹義相對論已被寫入大多數本科力學和電動力學教材中，本文所涉及的絕大多數結論均可從其中查到。

本文主要面向已系統學習過經典質點動力學以及平面向量的高中生及以（hao）上（pian）的高年級學生。如果在數學上因基礎不足而有困難的同學（初中或高一），歡迎開樓詢問；如果有熟谙相對論的大神，歡迎開樓批評指正。本文名為科普，實為知（dao）識（mai）交（si）流（huo），筆者學識有限，隻當抛磚引玉，希望在以自己的經驗幫助有志于學習相對論的同學起步的同時，補充自己的淺薄認識。

第一講 相對性原理

相對論的出現，是為了解決經典物理學内部的矛盾。在相對論時空觀出現之前，已經有基于伽利略相對性原理和伽利略慣性系變換之上的力學。力學三定律：慣性定律，加速度定律，反作用定律。第一定律和第三定律顯然在不同的慣性系都成立，而第二定律，依高中物理教材的描述，在不同參考系内的形式也是一樣的。這就說明，在慣性系中，不可能通過力學方法測量某一慣性系相對于其他慣性系的速度，所以力學規律是符合伽利略相對性原理的。

如何做位置測量？

尺

把質點的位置投影于【固定的，刻度均勻的尺】上讀數，該數值稱作坐标

如何讀數？

過質點位置做尺所在直線的垂線，記錄垂足點對應的數字

這一數字的意義？

尺單位長度的倍數

（這一讀數方法，和笛卡爾坐标系的坐标是類似的。所以，我學習相對論的過程中，認為【參考系】不止是一個【參照物】，而是【參照物】拖着一組【坐标尺】和【時鐘】）

以上的做法，可以等價于【空間直角坐标系方法】，在以後的描述中，将以【坐标系】代替【靜止的尺】；以【坐标】代替【讀數】。（筆者認為讀者對坐标方法是熟悉的，不再贅述）。

【坐标】是位矢分量相對基矢的倍數，如果基矢變了，坐标就會改變。在相對論中，為了同時滿足相對性原理和光速不變原理，必須改變基矢

然後是時間測量

時間測量有更多的講究。

時鐘在參考系B中得靜止（要不然就屬于别的參考系了）。

測量方法：在事件發生（比如質點A運動到（x，y，z））的【同時】看鐘讀數（鐘周期的倍數）。

在相對論時空觀裡，【同時】也要重新考慮。如果事件發生的位置和鐘表位置不一緻，傳遞時間讀數的信号傳播速度必然影響【同時】的精度。這一問題至少在慣性系裡是可以解決的。

以上，就是在新的時空觀下對新出現的測量問題的分析。非常啰嗦，但很重要，筆者認為有必要看完并理解。如果有不清楚（理解不清楚或者寫的不清楚）的地方，請盡管提問。

上一段，說的簡單一些，中心思想是：在相對論時空觀中，不管在哪一個參考系中，尺鐘怎麼變，測量的方法一如上一段所言。在之後的讨論中（尤其是洛倫茲變換中），一旦對其中坐标的意義感到迷惑時，可以回頭看看，這些坐标是如何測量得到的。

下面将把測量的方法具體到慣性系問題中。

在新的時空觀下，什麼樣的參考系才是【慣性系】？這一點我沒有查過嚴格的定義。如果仿照經典定義，我覺得可以這樣說：

【慣性系】是【牛頓第一定律】成立的參考系。并且，相對某一慣性系A做【勻速運動】的慣性系B也是慣性系（這裡的【勻速】是相對參考系A的測量結果）。

有定義和這個性質對【慣性系】來說已經足夠了，慣性系全體可以構成一個集合，而狹義相對論的兩個基本原理【相對性原理】和【光速不變原理】，隻在這個集合中成立。

在慣性系的限制下，【事件發生】和【對鐘讀數】二者【同時】進行的問題，是可以解決的。由于【光速不變】，若以光信号傳遞讀數信息，隻要知道【事件發生點】和【鐘】二者的距離，就知道鐘讀數信息的精确延遲時間，【事件發生】的時刻就可以計算。同理，各個位置的鐘可以利用光信号精确對時，做到“同一慣性系内整個空間各個位置的鐘同時指示同一時刻”。在這一意義下，時間測量的精度取決于位置測量的精度。

附上鐘表校準的圖解

對時方法：将時鐘按照其坐标，預設初始示數t=x/c，從原點在t=0時刻發射光，時鐘接到光信号時啟動，如此可以校準空間任意位置的時鐘。

對【慣性系】的讨論暫時告一段落，回到【相對性原理】的問題中。“一切慣性系都平權”，【平權】是什麼意思？

首先，在這裡需要做全文最重要的一個聲明：在學習狹義相對論時，一定要摒棄“靜止參考系”的概念。相對論一般研究兩個慣性系之間的物理量（直接或間接的測量量）變換，這兩個慣性系是完全平級的，沒有誰靜誰動的關系，唯一連接二者變換關系的參數，是慣性系A相對于慣性系B的速度v；或慣性系B相對于慣性系A的速度-v。兩個相對速度一定是相反數，否則兩個參考系就不平等。

回想【伽利略相對性原理】：力學規律在不同參考系形式不變。具體點說，在參考系A中，有牛頓第二定律f=ma；在參考系B中，力的測量值f’，質量測量值m’，加速度測量值a’，同樣可以寫成f’=m’a’(當然，在非相對論精度下的試驗中，f和m在不同慣性系下是相等的不變的，這樣的量在後面有個名詞：協變标量和協變矢量);也就是說，在參考系A裡和參考系B裡，雖然時空測量結果可能有所差别（x’=x vt），但牛頓第二定律沒變，力學規律沒變，那麼，不觀測參考系B，而以力學方法來區别參考系A，B的企圖就注定得失敗。同時,隻用力學方法，也無法确定參考系A和參考系B的相對速度。

引入相對論的“目的”，是要把【伽利略相對性原理】中的“力學”的前綴去掉，并把其中“測量”的意義覆蓋成相對論時空觀意義下的“測量”，這樣，以“物理方法”無法區分慣性系A，B，那麼兩個慣性系A和B在“物理”上就是平權的了。一個必然的結果就是：物理規律方程（包括電磁學方程和量子力學方程）的形式不能因慣性系的不同而變化。同時，不觀測慣性B，就無法用物理方法得到A相對于B的速度。

狹義相對論時空觀引入的【相對性原理】是【伽利略相對性原理】的推廣，前者将适用範圍推廣到了全物理規律的範圍。結合光速不變原理，我們發現，在經典時空觀推得的物理規律方程，在狹義相對論時空觀下，要麼在不同參考系下形式改變，要麼違背光速不變原理。因此不僅慣性系間的時空變換關系需要修改，而且各種物理規律也必須做相應的修正。本文的目标，就是得出時空變換關系（洛倫茲變換）的同時，把質點動力學的一些簡單情形推廣到狹義相對論中，其中就有萬衆期待的質能方程E=mcc。

第二講洛倫茲變換

這一講涉及一些定量的内容：兩參考系之間的坐标關系。那麼，涉及兩個參考系中的坐标測量，有必要做一點有助于理解的說明

*******再次聲明：在學習狹義相對論時，一定要摒棄“靜止參考系”的概念。相對論一般研究兩個慣性系之間的物理量（直接或間接的測量量）變換，這兩個慣性系是完全平級的，沒有誰靜誰動的關系，唯一連接二者變換關系的參數，是慣性系A相對于慣性系B的速度v；或慣性系B相對于慣性系A的速度-v。兩個相對速度一定是相反數，否則兩個參考系就不平等。

對于某一個質點D，在兩個參考系下對應有兩個坐标值（以及時刻）。分别為：A系（x,y,z,t）;

B系（x’,y’,z’,t’）。

D在A系中的坐标，是【按第一講中的測量方法，用相對于A系靜止的【尺（坐标系）和鐘】得到的數值】；

D在B系中的坐标，是【按第一講中的測量方法，用相對于B系靜止的【尺（坐标系）和鐘】得到的數值】。

言歸正傳

狹義相對論主要研究【兩個】不同慣性系間的物理量變換關系，統一這兩個慣性系的物理規律方程形式。如此我們構造兩個慣性系A和B，其中B相對于A以速度v運動。每個慣性系都應該拖着一套坐标軸和校準鐘，我們把兩套坐标軸的x方向均設為相對速度的方向，y，z方向垂直于x方向且y與y’,z與z’方向一緻，原點在t=0時重合。質點相對于A系的速度為u，相對B系的速度u’

為什麼在狹義相對論時空觀下不能堅持伽利略變換呢？

伽利略變換：(左邊是B系坐标，右邊是A系坐标，坐标（時刻）的具體意義見上一講)

X’=x vt;

Y’=y;

Z’=z;

T’=t

如果這個變換成立，那麼，分别在A系取兩個點（x1,y1,z1,t1）,(x2,y2,z2,t2);在B系的坐标分别為（x’1,y’1,z’1,t’1）（x’2,y’2,z’2,t’2）；帶入變換式，左右做差，有：

Δx’=Δx vΔt;

Δy’=Δy;

Δz’=Δz;

Δt’=Δt;線性（一次）方程就是有這個好處

第一式除以第四式有

Δx’/Δt’=(Δx vΔt)/Δt;

令時間趨于0，商的物理意義是速度：

u’=u v,這是熟悉的經典相對速度公式。

如果質點相對A系的速度是c，那麼依這個相對速度算法，質點相對B系的速度u’=c v，不等于c，這和光速不變原理相矛盾。因此在狹義相對論下，伽利略變換必須被新的變換式所取代。

這個新的變換式，代表了一個新的時空觀，也引入了許多不可思議的現象。這個變換就是著名的洛倫茲變換式。本文将直接導出洛倫茲變換式，而對“尺縮鐘慢”等著名的時空效應将在洛倫茲變換式的基礎之上給予說明。

首先，洛倫茲變換式一定是線性（一次函數，均勻）的。否則就會出現這樣的現象：坐标尺（鐘）的刻度将不均勻。而慣性系B不僅和慣性系A平權，其内部的各點也應當平權，故坐标尺（鐘）刻度應當一緻。根據這一精神，可以列出慣性系A，B時空坐标變換關系的一般形式：

式1

利用坐标系的特征和相對性原理，可以大幅化簡該式。

由于兩個慣性系内的xyz（x’y’z’）軸相互垂直且對應方向相同，因此坐标x隻和x’相關（y，z同理），但并未和時間t撇清關系，第一式可以化簡：

式2

這裡我們不假（hui）證明地給出一個重要的引理：

【參考系B垂直于相對速度方向的尺長不變，等于參考系A中垂直于相對速度方向的尺長】

（各位大大放過我吧，這條樓主真不會證明，是看别人的書看到的證明，樓主給忘了）

這樣一來，對于空間中的同一點（位矢，位置矢量），在不同參考系下的y坐标和z坐标就相等了，并且和時間無關，即：

式3

式1的最後一式也是可以簡化的。由于y,z方向的尺長不變，那麼在一個線性（一次函數，均勻的）方程裡，y，z坐标就不應該影響【對時】的精度，影響t’的因素就隻有x和t。故式1的最終簡化形式是

式4

（多說一句，數學上，如果式(1.4)中a42和a43不為0，那麼這一變換與其逆變換的形式一定不一緻，這樣A，B慣性系就不平權。因此式(4.4)也是相對性原理的要求）

如此，求洛倫茲變換的任務，就簡化為求這四個待定系數的值的問題。這種簡化得益于好的坐标系選擇，以及對相對性原理的合理運用。

那麼如何求解這四個系數？

作為狹義相對論時空觀下的内容，洛倫茲變換式必須滿足兩大原理：相對性原理和光速不變原理：相對性原理需要兩個參考系平權，那麼【從慣性系A到B的時空坐标變換】和 【從B到A的時空變換】必須是互逆的變換（具體的變換互逆的判定需要線性代數知識，這裡隻利用相對速度互為相反數這一條件）；光速不變原理要求：不論對于參考系A和B，光速都是c，換句話說，如果速度u在A中大小為c，那麼u’在B中大小也是c。

注意到上述條件均為兩個參考系的（特殊）速度之間的關系（相對速度和光速），那麼，通過式4給出形式上的【同一質點相對兩個慣性系的速度u，u’的關系】，成為一個可行的捷徑。

把式4，即形式上的洛倫茲變換表式做差（正如第二講開篇讨論的伽變換那樣）

式5

用式（5.1）除以（5.4），有：

式6

隻考慮x方向，利用速度定義

式7

代入式6，有

式8

這是（形式上的）速度“疊加”公式，實際上是（形式上的）同一運動質點相對于慣性系A，B的速度u與u’關系。

有了【式8】，代入相對速度的定義，或代入光速不變原理，立刻可以得到四個方程：

若質點D相對B靜止，那麼D相對于A的速度一定是相對速度v：

式9

同理，若質點D相對A靜止，那麼D相對于A的素的一定是相對速度-v：

式10

向x軸正向發射一束光，這束光相對A系和B系的速度都是c：

式11

同理，像x軸負向發射一束光，這束光相對A系和B系的速度都是-c：

式12

四個方程，四個待定系數，待定系數能确定了嗎？

不能。

上述四個關于四個待定系數的方程是不能定解的，原因是它們并非相互獨立關系，用其中任意三個方程可以推出剩下的一個。這也就是說，要想定解這一問題，還需引入其它方程。

為此我們參考高中物理教材中關于相對論的那部分内容（選修3-x），構造這一光路：選取起點P和終點Q，在B系下觀測，空間坐标分别為P（x’,0,z1’），Q(x’,0,z2’),也就是一條【在B系中垂直于x軸的一條直線段】的兩端點；光線在時刻t1’從P點射向Q點，那麼這一時間，由光速不變原理，可以表示為：

式13

（注意是帶’ 的）

如果在A系中觀測這一現象，那麼，同樣是光線從P射向Q，但是光行過程中Q已開始以v平移，所以光線在A系中的徑迹是傾斜的。這條徑迹在z軸上的投影Δz等于Δz’（因為yz方向尺長不變），x軸上的投影Δx=vΔt,由光速不變原理，徑迹長度為cΔt，由勾股定理有：

式14

結合形式方程

【5.1】【5.4】，加之所選的特殊光路Δx’=0

式15

用Δt’表示Δt是可以做到的，解式15得

式16

帶入式14，消去Δt，可以得到關于待定系數的第四個必要方程。

式16‘

聯立式9，式10，式11，式16‘，解得

式17

其中

式18

在符号選擇上，至少在低速下，兩個參考系的時間還是向前流動的，所以系數a44取正号，其他的符号也順勢而取即可。

以上就是求解洛倫茲變換的全部過程

補上為求第四個待定系數方程所構造的光路

第三講 被扭曲的時空觀

前言：第二講是筆者的得意之作，語言晦澀公式繁多，好多讀者恐怕讀不懂導緻反響很差。所以對自己的提綱做了修改

第二講，筆者的目的是希望給讀者呈現狹義相對論中的嚴密性，對此筆者不吝繁瑣的說明和數學表達式，力圖做到從兩大原理無縫直通洛倫茲變換，更多地顧及推導的嚴謹性（自己做不到的地方，标注了别人能做到），卻在行文中忽略了表達上的細節，以緻難以理解。為了補救這一缺憾，樓主在此講以及今後的内容中，會把内容設計的相對獨立于第二講。對于第二講的處理，樓主計劃隻保留洛倫茲變換的表式，而本來占更大篇幅的推導過程可以作為帶星号的内容無視之，不影響後來的閱讀。（反正對這部分感興趣的同學不多）

第三講依然要以數學方法切入，展現狹義相對論時空觀中，速度疊加方法的不同，鐘不僅變慢而且和空間坐标糾纏，尺不僅收縮而且讀數規則受時間的影響。這些現象明顯和我們印象中的世界相悖，但日常世界觀也不過是狹義相對論的低速近似而已。高速運動的參考系到底是扭曲了時空，還是為我們展現了一個不同的觀測角度，這個問題也值得思考。

以上

開坑

之前，還是做一個前情提要：

符号約定：

v是【慣性系間】的相對速度

帶撇的是B參考系下測量的坐标和時間，不帶撇是A參考系

u代表的是【質點】在慣性系下測量得到的速度

此外，注意兩個常用的常數

0.再三聲明：在學習狹義相對論時，一定要摒棄“靜止參考系”的概念。相對論一般研究物理量（直接或間接的測量量）在兩個慣性系之間的變換關系，這兩個慣性系是完全平級的，沒有絕對靜和絕對動的關系，唯一連接二者變換關系的參數，是慣性系A相對于慣性系B的速度v（或慣性系B相對于慣性系A的速度-v）。兩個相對速度一定是相反數，否則兩個參考系就不平權。

1.測量：

洛倫茲變換中的坐标和時間，都按照這一測量方法生成

2.洛倫茲變換式和伽利略變換式

參考系設置

在這種參考系設置下，兩參考系間空間坐标和時間的關系——洛倫茲變換和伽利略變換如下：

洛倫茲變換

伽利略變換

下面将借洛倫茲變換，讨論幾個反常識的時空現象。由于已經有了特别的建立坐标系的技巧，我們隻需考慮x方向的問題就能得到不失一般性的結論：

1.速度疊加式

上一講我們給出伽利略變換下的速度疊加公式，以及洛倫茲變換下的形式上的速度疊加公式。這一講我們通過洛倫茲變換，看一下在狹義相對論框架下，速度是如何疊加的。

高中物理第一課，我們給出速度的定義：

考慮洛倫茲變換式中這兩個式子：

式3.1

任意取【勻速運動的質點】軌迹上兩個點做差，得到

式3.1‘

【3.1’】兩式相除，易得

即

式3.2

【3.2】左右兩邊各顯含同一運動質點相對于參考系A和B的速度，這就是x方向的速度在兩個參考系之間的變換式

驗證一下光速不變吧

令u=c，帶入【3.2】，可以解得u’必然等于c。

這個結果的物理意義是：如果一個質點相對于A參考系以光速向x軸正向運動；那麼在B參考系觀測，質點的速度也是光速。其實，不論什麼方向，光速不變的結論總是成立的。

值得一提的是，雖然形式上差異很大，但是伽利略變換下的速度疊加式u’=u-v，是相對論速度疊加式在v遠小于光速時的近似，有興趣的同學可以帶入數值驗證一下

2.同時的相對性

依然需要式【3.1】

令t=0,此時

3.3

在推導洛倫茲變換表式時，我們已經預設，相對于A系靜止的鐘已經“相對于A系校準”，這句話對B同理。但是，我們在A系同時（令t=0）觀察【相對于B靜止的鐘】(求t’)時，卻發現，“已在B系校準的”【相對于B靜止的鐘】的讀數随着坐标x而變化。也就是說，在A系中“同時”發生的事件，在B系中不一定or很難“同時”發生。“同時“是相對的，不在絕對。

這又是一個和日常不符的現象。因為與經驗相符的伽利略變換式中，時間并沒有和坐标糾纏不休，這是伽利略變換和洛倫茲變換形式上的最顯著差異。

3.線段s的長度

【注意】，線段s是平行于x軸的，這種安排不失一般性

什麼是“線段的長度”？這個概念略不同于“位置”。如果這條線段相對于A系靜止，我們隻需在A系中讀出其兩端點的位置坐标，相減即可，不需考慮時間。如果線段是（相對A系）勻速運動的，那麼在測量線段長度是就必須考慮運動，相應的可以采用兩種方法：1.令坐标尺跟着線段運動讀數（建立一個相對線段靜止的慣性系B，在B系中按靜止線段的方法測量）；2.觀測者的眼睛足夠快，在極短的時間内(最好是【同時】)讀出線段相對A系的兩端點坐标，兩坐标相減即長度。

在日常生活中（筆者腦内“日常”就是伽利略變換），這兩種方法是等價的，兩種方法測得的結果一定相等。但是在相對論時空觀下，第二種方法中的【同時】變成了相對的概念。兩種方法不一定得到同一結果。

再次引入式【3.1】

在A系“同時測量”線段s的端點位置意味着兩次測量的時間間隔Δt=0，帶入第一式中，易得：

3.4

我們說過，在相對線段s靜止的慣性系測量兩端點位置時，不在乎測量時間差，而B系就是這樣一個參考系，所以我們不必在乎Δt’的值。【3.4】式直接體現了兩種測量方式引起的差異。（至少結果不相等對吧）

線段的長度測量值，取決于線段相對于參考系移動的速度，這樣的現象在經典圖景下是不可想象的。對相同的一條線段，在【相對其靜止的參考系】下測量的結果（Δx’），要小于在【相對其運動的參考系】測量的結果(Δx)。這樣的結果，可以解釋為【相對線段運動的尺】，比【相對線段靜止的尺】要短。這就是著名的尺縮效應。

（但是筆者不喜歡這種解釋，如果用已經收縮的尺去量尺，那麼尺還會是收縮的嗎？如果用已經慢掉的鐘去衡量鐘的周期，那鐘還是不是慢的？筆者在高中時局限于這種思路，結果在相對論這方面毫無建樹，這一局面直到認識到待定系數法的重要性後才有所改觀。在筆者看來，先去構造測量結果的關系，再去讨論測量的意義，這樣的理解過程更深刻）

利用類似的方法，從洛倫茲變換出發，可以輕易看出鐘慢效應，此處不作讨論。

小結：本講的内容相對簡單，舉了一些由洛倫茲變換與伽利略變換的差異引起的反常規的現象，并以洛倫茲變換處理。得到的結果多數與日常不符，雖然在低速下，常數β趨于0，γ趨于1，此時洛變換和伽變換形式近似。本講在展現這些不同的同時，筆者也展開了一點哲思：我們在觀察同一事物（質點位置和速度），依據不同的時空觀，依托不同的慣性系，得到了一些不同的物理量，有一些物理量在伽變換下是不變的（比如時間，長度），到了洛變換下卻發生了改變。筆者不禁發問：洛變換究竟是通過不同的參考系，割裂了A，B系彼此的空間，而成為兩個線性空間之間的變換；還是在同一個線性空間中不同基底下的坐标的變換，為我們呈現了同一事物的兩個不同的表象？對于同一事物的觀測，洛變換卻呈現出那麼多截然不同的物理量，那麼有什麼量是這個事物固有的，自我的，不受變換影響而獨立的量？這些問題留到下一講解決。

後記：這講的内容…筆者覺得寫得不大過瘾，問題分析的比較淺薄，更多的是驗證性的内容。而且還有一個因果律的問題也沒有加進去，因為自己在學相對論的時候對因果律不大重視，對這方面沒什麼思路。期待下一講——四維空間的引入吧。

說說第四講

單看狹義相對論的内容，闵可夫斯基空間并不算一個必要的環節。引入這一空間的目的，更多是出于數學上的考慮：這種對時空的描述可以改造洛倫茲變換的形式，簡化”協變“的表式，等等......但是相對于時間 空間的描述方法而言，闵可夫斯基空間顯得更加接近人們的經驗，原因是闵氏空間的性質和歐幾裡得空間是相似的。從種種方面考慮，樓主決定重點介紹這一方面的内容。如果覺得比較抽象，可以結合歐幾裡得空間的性質來理解。

第四講 四維空間——闵可夫斯基空間

前文已述，采用不同的參考系測量同一事件的時間和位置，會得到不同的結果。并且，經典時空觀下的不變量（比如長度，時間間隔，速度等），在洛倫茲變換下會發生改變，不再是不變量。

由此筆者不止一次發問：參考系的不同，是否扭曲了時空，并使時空發生分岔和割裂？

從哲學上來看，這一看法并不合适。之前我們一直以運動質點在某一時刻的位置作為一個“事件”。雖然我們選取不同的慣性系，測量事件的時間和位置，得到了一些反常識的結果。但是，不論選取什麼樣的參考系，終究是對“同一事件”的觀測；不同的兩個事件在任何參考系一定能區分開；時空坐标和物理事件緊密相連乃至一一對應，而不同參考系的時空坐标又能以可逆的洛倫茲變換一一對應。因此，筆者認為，被參考系“分割”的“各個時空”，通過【真實】的物理事件互相聯系，并最終統一于物理世界。

筆者相信，當年物理學界的先哲們之中，一定存在和筆者的觀點一緻的人。那麼，在這一思想的指導之下，如何在理論上把這一思想體現出來，把這一思想用相對具體的數學概念（還是很抽象的）表達出來，這就是本講的主要内容——如何引入闵可夫斯基空間。

在闵可夫斯基空間中，“事件”在不同的參考系下以一個統一的“四維矢量”表示（不再将時刻和位置區别對待）。在這一表述下，很多物理量的意義将逐步明晰，這有助于相對性原理的诠釋，更有利于把經典物理學規律向狹義相對論時空觀推廣。

（據維基百科說，愛因斯坦一開始對他的老師——闵可夫斯基——把洛倫茲變換改造成闵可夫斯基空間下的形式的做法不以為然，認為這不過是數學遊戲，然而他在發展廣義相對論的過程中發現闵可夫斯基形式是必要的，因此對這一相對整齊的表述形式重新重視起來）

上述讨論有什麼意義呢

之前我們說過，以不同的參考系測量相同的事件，會得到不同的測量結果。筆者既然堅持時空并沒有割裂，那麼就應該給出一個坐标系統，使同一事件的不同的測量結果在數學上統一于同一客體。從這一角度考慮，線性空間——尤其是内積空間，無疑應該重點考察。原因是：1.内積空間中，選擇不同的正交規一基矢組，會得到不同的坐标，但是内積空間中的矢量本身并不随坐标系的旋轉而改變（正如平面中的線段的位置不随視角的選擇而變化），這樣，物理事件本身就可以對應于内積空間中的矢量，它可以在坐标表換下保持不變，而對物理事件的不同觀測結果将對應于不同坐标系下該矢量的坐标；2.内積空間是線性空間，這一性質很好的照顧了洛倫茲變換的線性性質。通過合理的構造這一内積空間，還可能将洛倫茲變換改造成一個“正交變換”，那麼【選擇參考系】這一物理操作，在數學上就相當于【旋轉操作】，這樣把洛倫茲變換類比于歐幾裡得空間，有助于我們建立相對論時空觀的物理直覺。

基于上述考慮，我們改造洛倫茲變換的形式，并引入一個新的四維空間——闵可夫斯基空間

第五講——協變

協變不是一個局限于物理學的名詞。它代表方程在坐标變換之後的形式不變的特點（反正筆者是這麼理解的，但僅僅是直覺上）。

看不明白？那就對了，筆者也看不明白。那麼換一個講法（摘自維基百科）

物理學中，洛倫茲協變性或洛倫茲共變性(Lorentz covariance)是時空的一個關鍵性質，出自于狹義相對論，适用于全域性的場合。

1. 一個物理量要稱為洛倫茲協變性的(Lorentz covariant)，則其是在洛倫茲群的表象下做變換。根據洛倫茲群的表象理論，這些量是以下述的量來建立的：标量、四維矢量、4-張量與旋量。其中特别是，一個标量(例如：時空間距)在洛倫茲變換下保持不變，而被稱為一洛倫茲不變量(Lorentzinvariant)（亦即它們的變換是在平凡表象(trivialrepresentation)）。

2. 一方程被稱為洛倫茲協變性的，是以其可以洛倫茲協變量的形式來寫出（有些混淆的地方是有些人在此處用“不變量”這個詞）。這樣的方程的關鍵性質為：若其可在一個慣性參考系下成立，則他們可在任何慣性參考系成立（這是“若一張量的所有分量在一參考系中為零，則它們在所有參考系皆會是零”這項事實的結果）。這個條件是相對性原理的一項要求，即在兩個不同的慣性參考系中，所有非引力定律對于在同一時空事件的等同實驗必須做出一樣結果的預測。

洛倫茲群？表象？4-張量？這名詞對樓主而言完全是高大上夠不着，雖不明但覺厲，怎麼可能有能力解釋的清楚？（而且樓主還有一點懷疑，維基介紹的協變量都是張量——也就是多元多線性函數，那麼非線性的量就不是協變量了麼，也許筆者理解産生了歧義吧，望解答）

其實——協變什麼的，最簡單了。筆者寫起來那真是天馬行空，寫意得很。

這個在狹義相對論中聽上去最吓人的名詞，實際上是個非常容易理解的概念。理解協變不需要高深的數學基礎，隻需要讀者比較靠譜的物理直覺。本文一改二三四講中從數學推導中窺探物理意義的行文風格，将從物理概念的角度切入，介紹協變的定義和物理含義，這一含義和數學中協變的意義是一緻的。

話不多說，開坑

5.1——以測量定義協變

5.1.1 力學量都是【位置，時間】的間接測量量

我們在第一講——相對性原理中，诠釋了兩種最基本測量——位置測量和時間測量的意義和測量原則。為什麼要如此強調這兩條呢？

回憶高中物理中我們接觸過的國際單位制的七個基本單位，其中，隻要三個基本單位——【米，秒，千克】就可以涵蓋所有的力學量，其他非基本力學量的單位都可以有這三個單位導出。着三個單位分别對應着三個基本力學量——【位置，時間，質量】。由基本單位和導出單位之間的關系，不難想象，其他各種力學量都可以用這三個物理量的測量值來表示。

為了便于體會，我們舉幾個例子增強印象。

（1）x方向上的速度u

【1.1 速度表式】

這一表式代表平均速度，當然總可以通過适當的時間點選擇和多次測量來逼近瞬時速度。可以看出，速度測量将完全依賴【位置，時間】的測量

同理，加速度也可以通過這種方法測得，同樣需要以多次【位置，時間】的測量值表示

（多普勒效應也可以測量速度，此時直接測量量隻有時間）

(本講為照顧中學生，不會出現微分)

（2）質量m

在國際單位制中，質量單位kg是獨立于時間的單位s和位置的單位m的基本單位。但是質量的測量真的如單位制一樣，獨立于位置和時間的測量嗎？不見得，想一下，1kg的定義吧——某溫度某壓強下的【1立方分米】水的質量，這一個明顯的長度參數是無法被無視的，尤其是筆者給它加了一個括号。

也許讀者會嘗試找到一個不需要通過測量【位置，時間】來表示【質量】的測量方法。那麼，來看一下吧，我們接觸過的幾個測質量的方法。

1）利用密度測質量，尤其是測液體質量

【1.2 質量=密度*體積】

體積，毋庸置疑，必須通過長度——也就是位置差的測量來表示（長乘寬乘高），密度……這個方法适宜測液體質量，那麼，液體密度可以用密度計來測。

密度計的具體工作原理筆者已經記不得了，但是，讀數方法實際上也是長度測量——有标尺嘛。上面的讀數的含義是待測液體密度和水密度的比值，這個比值是通過阿基米德浮力定律推得的。

測得了體積和密度，質量就可以測（解）得。回顧一下上面的例子，測量質量需要的重要信息有三點：

1.基準質量（水的單位體積的質量）

2.位置測量（有的方法也需要時間測量，但兩者至少有其一）

3.力學方程（經驗的或理論的）

筆者所能羅列的，用來測質量的方法，無不具備上述三個條件，再如：

2)天平

1.基準質量——1g砝碼，

2.位置測量——遊碼位置，平衡針

3.力學方程——杠杆原理，重力表式

3）彈簧秤

1.基準質量——某标準砝碼（由分度值代表）

2.位置測量——彈簧伸長量

3.力學方程——胡克定律，重力表式

4）動量守恒法測被撞小球質量

1.基準質量——入射小球

2.位置測量——兩小球速度(位置和時間共同測量)

3.力學方程——動量守恒定律

……

據此，筆者略帶武斷地斷言——一切測量質量的方法，都必須依賴【位置，時間】的測量；換言之，一切質量的測量表達式，都必須是【位置，時間】的“函數”。

（3）其他力學量

力，動量，機械能等力學量，無不依賴對質量和【位置，時間】的測量，因此本質上都歸結于【位置，時間的測量】

用一種點題的說法總結此節：在力學測量中，隻有【位置，時間】兩個直接測量量，其他力學量全都是這兩個量的間接測量量。

5.1.2 參考系的選擇對間接測量量的影響

不論是在經典時空觀和狹義相對論時空觀下，參考系的不同都意味着時空測量值的變化，因此，在兩個時空觀下，都存在着物理量，物理方程是否協變的問題。

那麼，什麼是協變？

看下面幾個式子

【1.1 速度表式】

【1.3 加速度表式】

【1.4 動量表式】

【1.5 質量測量方法】

【1.6 牛頓第二定律】

【1.7 動量守恒，const意思為常數】

第一組，代表了一部分間接測量量的定義或測量方法的集合；第二組則是一些實驗規律或者其衍生定理的集合，也就是力學規律。第一組式子中的運動學量不必依賴力學方法，而力學量的測量如上一節所說，必須依賴力學方程，也就是第二組式子；第二組中的力學方程中的全部量，都要依賴第一組的測量結果。兩組之間錯綜複雜的邏輯關系筆者尚無能力和精力讨論，隻是确信這些式子在經典時空觀的靜止參考系下是自洽的（要不為什麼這麼多年都學這個）。

下面我們把第一組量帶入第二組，也就是把間接測量量中蘊含的直接測量量全都暴露出來，寫到力學規律方程裡，那麼力學方程将以其直接測量意義展現出來：

比如，牛頓第二定律

【1.8 牛頓第二定律的直接測量式】（多元函數的符号高中也見過吧）

這樣，就可以通過實驗來驗證牛頓第二定律了，按需要測若幹組質點在某時刻的位置，帶入這一式子，看等号是否成立。從曆史來看，力學體系的建立不是一氣呵成，它需要各代物理學家不斷地創造和總結，需要無數實驗以佐證，還得理清這其中的因果關系。所以雖然是“站在巨人肩膀之上”，牛老爺子還是相當了不得的。

這跟協變有什麼關系？

既然力學規律中的力學量全都可以用【位置，時間】表示，那麼，力學方程的“直接測量形式”中将隻含常數和【位置，時間】，這句話寫成數學符号是這樣的：

【1.9 一般力學方程直接測量式】

H是一個複合函數，包含了很多物理量（G1，G2，…），每個物理量G都可以用若幹坐标和時間表示:G（x1,x2,…,t1,t2,…）。這樣H就被寫成關于位置和時間測量量的多元函數，或者說，一個“大個的”間接測量量。（比如牛頓第二定律中，把ma移到式子左邊，寫成H=F-ma=0，就是這個意思）。

問題來了，我們知道，不論是經典時空觀（伽利略變換），還是狹義相對論時空觀（洛倫茲變換），如果選擇的參考系不同（參考系A，參考系B），那麼我們直接測量的時間和位置的數值可能會改變，而力學方程如前文分析正是基于這些直接測量量才能得以驗證。對這一現象的思考所必然要遇上的一個問題是：

如果換參考系，那麼力學方程H（G（x，t））=0中的等号，是否依然成立？用物理概念提問相同的問題：換參考系測量後，力學規律是否不變？

（好激動，終于碰到問題的核心了）

這是個尖銳的問題，我們知道，位置（和時間，加括号是因為這個直測量在經典和狹相理論下有别）的測量必須依托參考系，力學規律的描述要借助這些直接測量量，按理說自然要和參考系相關。但是經驗告訴我們，雖然車站和火車是相對運動的，但是車站裡的牛頓定律和勻速火車裡的牛頓定律，乃至人造衛星滿足的牛頓定律，是同一套牛頓定律，也就是說牛頓力學規律和參考系（慣性系）的選擇沒啥大聯系（測量精度之内）。況且筆者在高中二時代學物理總會有一個不自覺的觀念——相對宇宙運動，加之當時比較懶，不愛驗證參考系相關的問題，會覺得“力學定律如果在不同參考系不一樣的話，那就拿大宇宙作參考系，宇宙是唯一的總參考系”，其實這種想法正是學習狹義相對論的最大阻礙。

扯遠了，回到中心問題來。我們已經用直接測量量表示了力學方程，并且知道參考系之間的坐标變換正是針對【位置和時間】這組直接測量量的。如此，協變的含義已是呼之欲出：

（私貨）定義：在參考系A中，方程H（x，t）=0是成立的。如果換參考系B觀測，方程左邊的表式就變成H（x’,t’）。如果等号依然成立，那麼就稱“方程H（x,t）=0在【變換A到B】下協變”。如果某個間接測量量G的定義式在【變換A到B】下協變，那麼稱該測量量為“協變量”

物理闡釋：如果在參考系A中的力學規律同樣可以不變形地用于參考系B，那麼稱這個力學規律協變。如果某個間接測量量（不一定是實數，可能是矢量，張量等數學對象）在參考系A和B（A不同于B）中都相等，那麼該間接測量量為協變量。這個協變的定義未涉及何種時空觀下的何種變換，是個不局限于物理學的普遍意義上的概念。

以上内容私貨較多，有些是筆者心血來潮即興而作，未考慮其嚴謹性和正确性。樓主無比期待讀者的批評指正，當然是有來有往的那種。

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