從我們接觸數學開始，就會遇到各種各樣的數，從自然數開始，我們逐漸學習了整數、分數、負數、有理數、實數。到初中結束也就到此為止了，那有沒有除了實數以外的數呢？與“實”字相對應，以後我們會接觸到一種叫“虛數”的數，實數與虛數統稱為複數。

那什麼是虛數？

01 從認識數開始

在認識虛數之前，我們先來說說什麼叫數？

1和a有什麼區别？對于數，我們會有各種運算，比如1 2=3、2×3=6，但是對于字母，我們得不到像a b=c或xy=z這樣的結果。

簡單說，數是具有運算功能的符号！

如果沒有運算，1和a除了長得不一樣，其他并沒有區别，所以數存在的開始就有了運算，學習數的過程也是學習運算的過程。

02 初識有理數

我們從運算的角度來簡單叙述一下數的發展史，我們最早認識的是自然數，什麼叫自然數呢？其實就是來源于我們實際生産生活，比如說1張桌子有4條腿，這裡的“1”和“4”，這次考試，張三第1，李四第2，王二毛第3，這裡所出現的“1”、“2”、“3”,可以說自然數無處不在。

我們可以用1根手指、1個蘋果等等來描述什麼叫1，但什麼叫-1呢？後來也有人提出可以用“虧損”或者“負債”這樣的方式來描述負數，但總歸不像自然數那麼自然，并不能讓所有人都接受。

其實可以換個角度來看，為什麼一定要有找到一個具體的事物來對應呢？

數學源于生活但不是生活，數學是一門定好規則的符号遊戲，隻要符合我們預先設置的規則，就是合理的。所以我們不需要指出負數具體是什麼，隻要能說清其來源，并且适用于我們現有的運算體系且不會産生一些不可調和的矛盾，我們就可以承認其存在。

于是由于作減法可能會産生新的數，自然數不再滿足我們對計算的要求，我們的數系便擴大到了整數，包括正整數、0、負整數。

那分數是怎麼來的呢？有了上面的思路，這裡就很顯然了，對兩個整數作乘法，結果一定還是個整數，但是對任意兩個整數作除法呢？就會出現我們現在所謂的分數，所以整數并不能滿足我們所有乘除法的運算，我們需要繼續擴大數的範圍。

以上的所有組成的大家庭我們稱為有理數。有理數會具有這麼一個性質：對任意兩有理數作四則運算（除數不為0），結果一定還是有理數，這麼個性質稱為“封閉性”。這對數與計算而言，是個很重要的性質。

03 無理數的發現

最後，我們還有乘方和開方，乘方等同于乘法，不用多說，開方呢？

根号1等于1，根号4等于2，根号9等于3這些都是我們認識的數，也會有一些新面孔，比如說：根号2。

據說最早發現根号2的是畢達哥拉斯學派一個叫希帕索斯的年輕人，大約公元前400年（差不多在春秋戰國時期），他發現，正方形邊長為1時，對角線的長（即根号2）不是個有理數。

解釋着一點很簡單，根号2肯定不是個整數，沒有整數的平方會等于2，同樣也不會是個分數，因為分數的平方還是分數，那根号2是什麼呢？在當時沒有人能解釋它的存在，猶如晴天霹靂，從根本上動搖了畢達哥拉斯學派萬物皆數（他們所認識的數僅限于有理數）的理論，引發了第一次數學危機。

當然現在我們都知道根号2是無理數，對有理數作開方運算，結果可能并非有理數，所以如果将運算擴大到六則，則數的範圍将繼續擴大，有理數與無理數統稱為實數。但并非所有的無理數都能通過有理數作開方所得，比如圓周率π，像這樣的數我們歸類為：超越數。不能表示為整系數方程根的數稱為超越數。

其實實數會比我們所認識到的複雜很多。

很快我們發現，其實僅僅實數也還是不夠的，在實數裡我們可以對0和正數作開方運算，負數呢？

04 虛數不虛

根号-1是什麼？

我們的第一反應通常是：這不存在的！

正數的平方是正數，負數的平方也是正數，0的平方還是0，所以不可能存在一個數的平方等于-1。如果事實如此的話，那結果就不盡完美了，對于開方運算，實數并不具備封閉性。對于高次方程，結果可能是災難性的。

數學家怎麼會允許這樣的遺憾發生，之前沒有，并不代表不存在，就像負數一樣，也許此刻我們眼中的虛數就像數百年前人眼中的負數一樣。

1637年，法國數學家笛卡爾在《幾何學》中說道：“負數開平方是不可思議”，并且他創造一名字“imaginary number”（虛數），意思為“虛幻之數”。但後來他改變了看法，正确認識了虛數的存在，把“虛幻之數”改為“虛數”，與“實數”相對應。“虛數”因此得名，沿用至今。

140年後，歐拉首次創用符号“i”來表示根号-1，即我們所說的虛數單位。

定義：i²=-1，形如：a bi（a≠0）的數叫做虛數，其中a,b是實數。

虛數與實數構成的集合叫做複數。複數的一般形式為：a bi

a叫做實數部分，bi稱為虛數部分，當b=0時為實數，當a=0時稱為純虛數。

雖然有了虛數個概念，但虛數到底是什麼？是不是隻是純粹臆想出來，照這麼操作，是不是也可以定義一個w使得1/0=w？

我們先來解釋其存在的合理性。

創造新的數的必要條件是，一定要适用于我們現有的運算系統。

考慮對任意兩複數作加法，會有：

考慮對任意兩複數作乘法，會有：

考慮對任意兩複數作除法，會有：

對任意複數作開方，則其結果必然還是複數。

綜合以上運算，可以發現，複數完全适用于我們的這套算法體系啊，甚至，還解決了對開方具有封閉性的這個問題。

反觀為何不能定義w使得，如1/0=w果存在，則w 1=?，我們隻能得到w 1=w，兩邊同減去w，得到1=0，what？所以這樣的w無法存在。

05 再識虛數

實數我們都能夠理解的一個主要原因是我們有一條叫做數軸的直線，每個實數對應數軸上的一個點，準确講，這條軸應該叫實數軸，與此對應，其實也可以有虛數軸。

問：-1×（-1）=？

結果當然都知道，負負得正，所以結果等于1嘛。

再問：為什麼負負得正？

提供一種思路，我們知道2×（-1）=-2，可以這麼理解，所謂×（-1）就是将數軸上的數繞原點逆時針旋轉180°。

2×（-1）便是将2繞原點轉180°，其結果就是-2，-1×（-1）=1也是同樣的道理，将-1這個點繞原點逆時針轉動180°便得到1.

觀察式子：1×i×i=-1，對1做兩次×i的操作，結果為-1，相當于把1繞原點逆時針轉了180°。

觀察式子：1×i=i，對1做一次乘i的操作，得到的結果為i，那i在什麼地方？

相當于把1繞原點逆時針轉了90°！

一次轉90°，兩次轉180°，所以有1×i×i=-1。

所以i所在的位置是一條與實數軸垂直的直線，我們稱其為虛數軸。

是否覺得似曾相識，和平面直角坐标系是不是像得很？

實際上，高斯同學曾表示，既然複數a bi有數部和虛部兩個部分，不如用符号（a,b）來表示，（a,b）是一組有序數對，每一個（a,b）對應一個複數。

曾經，我們用（a,b）表示平面中的每一個點。

重點來了，我們可以将平面中的點與複數建立起對應關系，正如同我們将直線上的點與實數建立起的關系一樣，一個點對應一個數，每個數必有一個點對應。

純實數在實軸上，純虛數在虛軸上，而由實數和虛數共同構成的複數則在整個平面中，這個平面稱為複平面。

我們所謂的實數、虛數，并無真正虛實之分、隻是由一元數變為二元數而已。

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