最近在給學生上微積分課的時候，遇到學生各種各樣的問題：

求導不就是微分嗎，怎麼還有區别啊！

換元求積分為什麼還跟求導有關系？

求體積的方法有這麼多，我到底用哪一種？

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其實這些問題是很多同學學習時都會有的疑問，畢竟微積分5分容錯率相對較高，很大比例的問題依靠對公式“死記硬背”即可解決。

對基礎概念的和公式的意義可以“不求甚解”。但是一旦遇到了複雜的問題，往往無從下手，隻能選擇性放棄。

為了解決以上疑問，我們需要來弄明白最本質的問題，到底什麼是微積分？微積分能用來做什麼？

首先來看微積分這個詞，我們把它拆開就是微分 積分。微分，顧名思義，就是把一個整體拆分成微小的單元。積分, 顧名思義，就是把微小的單元累積起來變成一個整體。

微分和積分是兩個相逆的過程。 那麼具體我們怎麼去運用微分和積分呢？

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舉一個簡單的例子

這是我家的一個樂高小人，他長的很帥氣，但是我總覺得他的身材比例不協調(可能是頭太大？)。于是我想測一測，到底他的頭和身體的比例是多少，但是如何測量呢？

從上圖中看出，它的身體各個部分并不是常見的規則圖形，所以無法直接測出頭或身體的大小。這候我們就需要用到微分，通俗的講，就是“拆”！

拆開後，我們可以看出，若忽略連接處的凸起，拆出的每個小塊近似可以看做長方體，而長方體的體積相信所有人都不陌生。

這時我們就可以算出每個長方體的體積，最終把他們加在一起就是我們需要的各個部分的體積了，這個步驟叫做積分。

當然，這個小人屬于棱角比較分明的，所以我們可以把他拆分成長方體。

但現實生活中的大多數物體的表面都是“圓滑”曲線，若還是把它們微分成方形，是否就失真了呢？

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為解釋以上問題，引入兩個概念

● 概念一：像素

像素是指由圖像的小方格組成的，這些小方塊都有一個明确的位置和被分配的色彩數值，小方格顔色和位置就決定該圖像所呈現出來的樣子，比如以下這個蜘蛛俠，每個小方格就代表了一個像素。

15*25

( 馬賽克風蜘蛛俠 )

● 概念二：分辨率

通常情況下，圖像的分辨率越高，所包含的像素就越多，圖像就越清晰。我們現在每天用的電腦屏幕有不同的分辨率。

眼下我用來編輯文章的這台電腦是4K分辨率，意味着一個屏幕上有接近4096×2160個像素點。

大多數電腦的分辨率是1440x900或者2880x1800等等。現在我們可以直觀看一下不同分辨率的效果圖，可對比以上馬賽克風蜘蛛俠。

128*128

( 輪廓已經圓滑，但是細節很模糊 )

2048*2048

( 細節很完善，光影變化流暢 )

從這對比圖中我們可以發現，當我們的像素足夠多，或者說，把一個圖片微分到足夠小的時候，有多少像素，相當于微分成了多少個單元。

這些小的方塊拼接成的整體和實體會非常接近。其實在128*128的圖片中，已經看不出是由小方塊構成的了。

而随着科技進步，分辨率也會逐步提高，如果未來我們能夠把圖片無限細分下去，像素點個數接近于無窮。

最終通過小方塊累加得到的總體就會和實體一模一樣，從而解決了“失真”的問題。這就是微積分裡近似和極限的思想。

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從現實的例子回歸到微積分題目

1.題目描述

怎麼選擇方法去計算一個物體的體積？我們來看下面的這個例子。這是16年AP微積分BC裡的一道簡答題，題目不難，需要計算這個漏鬥的體積。

很多同學拿到題目就開始從腦海裡檢索背過的公式。但是最終不知道用哪個公式。那麼正确的思路應該是什麼？

2.正确的解題思路

根據前兩個例子，我們第一步要想清楚如何去微分，微分的目的是把不熟悉的圖形分割成熟悉可以處理的圖形。

如果再分割成正方體其實也可以，但是過于複雜，我們學過的常見圖形可不止立方體一種，比如在這裡我們可以嘗試把這個漏鬥切分成小薄片。

如下圖所示，微分之後我們會發現，每個小薄片都可以看做是一個小的圓柱體，圓柱也是我們非常熟悉的圖形。

為了能夠看清，薄片畫的比較厚

圓柱的體積是πr^2h。在這裡h非常小,我們記做dh，每個薄片的體積就可以表示成πr^2dh。

最後，我們隻需要将h從0到10的這些小圓柱加在一起，根據我們的經驗，隻要分割的足夠細，這個總和就會與漏鬥的體積完全相同。

那麼在微積分裡，總體積可以表示如下：

最後一步，我們把題目中 r 和 h 的關系代入即可求得結果(此處省略計算結果)。

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理解原理比背公式和套用公式更加重要

上面這道題是衆多體積計算中比較簡單的一類，還有很多其他體積計算的問題。AP微積分中需要掌握的是圓盤法，圓柱殼法，固定橫截面積的體積計算等等。

除了計算體積，微積分也可以用在很多其他的地方。比如研究變速運動，函數的最值，物體的重心等，甚至有位清華的學生用微積分來研究薯片掉在地上是否還能吃。

無論研究什麼，都離不開先微分再積分的過程。因此理解微積分的原理比背公式和套用公式更加重要。

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