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無窮級數的基本知識

生活更新时间:2024-11-26 21:18:10

我們學習泰勒級數目的，就是為了在某個點附近用多項式近似其他函數，這樣逼近函數的多項式要比函數本身更加有意義，既可以積分又可以求導，還可以觀察它的的特性。

我們以cosx為例，用三項式來逼近它

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）1

首先很容易得到：x=0時，C0=1

多項式曲線在x=0處，還是可以來回搖擺，所以繼續定義在x=0處的斜率得到C1=0

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）2

雖然定義了x=0處的斜率，但是多項式曲線還可以上來活動，所以繼續定義x=0處的二階導數：

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）3

這樣在二階導數斜率為負，曲線開口朝下，這樣曲線在x=0點和cosx更加吻合

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）4

最終得到僅有三項的逼近COSx的多項式

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）5

我們可以用x=0附件的數值例如0.1,0.2來驗證，與實際的COSX非常接近，所以是成功的

c0負責多項式在x=0時與cos0的值一緻。

c1負責多項式x=0時與cos0處的導數一緻（不可左右搖擺）（斜率一緻）

c2負責多項式x=0時與cos0處的二階導數一緻（不可上下搖擺）

這樣使得曲線在cosx附近變化時，盡可能的逼近cosx。

為了使得曲線在x更遠的地方也能逼近cosx,需要不斷增加項數，這樣就要不斷的對cosx求導。

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）6

你會發現，随着項數的增加，增加的高次項并不會影響低次項。這點很重要，這是因為在求高次項系數的時候，前面的x都等于0

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）7

多項式任意階導數在x=0的值，都是唯一的一個系數來控制。這樣我們就得到了cosx函數的泰勒多項式。

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）8

同理最終得到任意函數在x=0時的泰勒多項式。

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）9

我們來分析他們的幾何意義：

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）10

首先假設多項式f（x）代表面積

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）11

f（x）的在a處一階導數就是曲線上在a點的縱坐标，f（x）的在a處二階導數就是曲線在a點的斜率，所以得到圖中的等式。這就是他的幾何意義

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）12

注意：

泰勒級數不是對所有的函數都能很好的逼近，如下Inx函數的泰勒級數，在x取值超出一定範圍後就上下亂跳，所以x的取值不能延伸更廣的範圍，必須定義它的收斂半徑。

無窮級數的基本知識（趣談無窮級數的終結者）13

但對e^x的泰勒級數就不存在這個問題，能很好的和e^x吻合。

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