“雙斜率模型”是圓錐曲線中熱門問題，下面我将通過下面這個題由點帶面，歸納出這類問題将如何解決，并且還将滲透我個人研究出來的新見解。

這個題，我也出給我的學生做過，他們真正做出正确結果來的人不多，很多學生說：老師，我知道方法，但就是算不出。他們說的是事實 ，很多學生說方法頭頭是道，但具體做的時候，不是算不出結果，就是算錯了。我想出現這種情形，與他們使用的方法本身運算量不無關系，下面我把他們的主流方法曬出來，然後我們再來探讨新方法。

解後語：這方法中等基礎的同學可能想得出，畢竟它符合了我們習慣的那種做直線與圓錐曲線問題的方式：“出發”時走一樣的路：先聯立，然後韋達定理，接着再根據問題的不同，各走各路！但本題這種方法運算量有點大，可能會讓我們“死”在茫茫計算的路上。

那有沒有更好的方法呢？有的，不過有點說來話長，我們暫時抛開這個題目，來說說這方法的來龍去脈。

先看一個引理一：

不過原點的直線方程可表示為mx ny=1（m，n不同時為0）的形式。我稱這種直線方程的形式為“帶一式”。（陽光老師自取的名稱，因為右邊有個1嘛，以方便後面描述。）

下面我們舉例說明這個引理的應用，并通過它進行歸納。

(由于m是定值，所以動直線AB的變化靠n的變化決定，要找定點，隻有“消滅”n,怎樣“消滅”？靠y了，當y=0時,y就和n“同歸于盡”了。所以，“同歸于盡”是找定點和定值常用的“伎倆”。)

解後語：造齊次的作用在哪呢？通過造齊次，我們得到了y/x的一元二次程的形式，而y/x 的幾何意義就是直線OA,OB的斜率k1,k2,于是就可以利用韋達定理了，而由垂直又有k1·k2=-1，從而實現了韋達定理和垂直的“會師”，這就是這種非常規聯立的精髓，為方便描述，以後我們這種聯立造齊次的方法為齊次聯立法。

如果是碰到橢圓和雙曲線，能不能進行齊次聯立呢？我們看下面例子。

解後語：當直線碰到橢圓時，也是可以齊次聯立的，橢圓可以，雙曲線當然也可以的，本來橢圓和雙曲線的方程差不多，聯立運算技巧和抛物線都差不多，隻是運算量比碰到抛物線大一點。

提醒同學們注意：齊次聯立并不是常規聯立的那種消元，而是造y/x這個整體的一元二次方程,而這個y/x的幾何意義是指直線和圓錐曲線的交點與原點确定直線的斜率。

齊次聯立怎麼進行，這個容易掌握，重要的是，它能幹什麼？這是核心！下面我們作個歸納。

圓錐曲線中雙斜率模型方法歸納：

方法一：常規聯立法（不再多說）；

第二步：利用題目給出的k1，k2的輪換對稱定值關系和韋達定理“會師”，從而解決相關問題。

你學會了嗎？口說無憑的，用下面這個題檢驗一下吧，有什麼問題可以和我交流哦，在下面留言區或私信我都行。

文章到這裡為止，齊次聯立方法目前的成果都是現成的方法，學霸們可能早用“爛”了，但陽光老師在這裡按我的理解重新進行了整理和優化，不要小看這種整理和優化，這樣處理之後可能不是學霸的學生，甚至是“學渣”（調侃而已，别上綱上線）也可能會用哦。

但我們能就此知足嗎？

上面我們研究的兩個斜率k1，k2都是從原點發出的兩直線的斜率，如果我們碰到的是從非原點發出的兩條直線斜率的輪換對稱定值關系的條件呢？斜率就不是y/x了，是不是齊次聯立方法就不能用了？我看到的這種題解法都是用常規聯立法來做，那運算量啊，更大了！

如果說我們本文目前總結的方法解決的普通流感的話，那麼，上一段說的這種題型，意味着“感冒病毒”變異了，那有沒有特效藥立竿見影消滅這種“升級病毒”呢？

經過陽光老師潛心研究，這種“變異”題型終于被我征服。不過，到這裡，上篇也該結束了，因為，我覺得同學們還是先消化本篇的内容和方法（比如，做做留的那個作業題），先打好一個基礎，基礎打好，下篇的升級版方法，我們将輕裝上陳！

我将在下篇帶着大家破解這種“變異”的題型，不但會提出我研究出來的升級版的齊次聯立法，而且還将帶着大家把本文開始的那個例題用用升級版新方法來搞定它。

咱們下一篇不見不散！

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