大家好！本文和大家分享一道1963年全國高考的數學真題。

1963年高考的時間為7月15日、16日、17日共三天，而當年的數學卷共有10道大題，每題10分，滿分100分。題量雖然不大，但是10道題全部是解答題，考生連蒙的機會都沒雨。

本文分享的是當年數學卷的第6題，解方程：sin3x-sinx cos2x=0。

對于現在的學生來說，這道題的難度還是非常大的，甚至拿到班上讓高三學生做了一下，不少學霸都懵了，能做出來的隻有極少數。下面介紹本題的3種解法供大家參考。

解法一：和差化積

和差化積與積化和差是以前三角恒等變換的重要内容，但是現在已經被移除了人教版高中數學教材，那麼我們先看一下和差化積的公式：

根據上面的公式，很明顯可以将sin3x和sinx進行處理，得到2cos2xsinx，然後再提公因式cos2x，得到cos2x(2sinx 1)=0，即cos2x=0或2sinx 1=0。

當cos2x=0時，2x=kπ π/2，從而解出x的取值。

當2sinx 1=0時，sinx=-0.5，則x=2kπ 7π/6或者x=2kπ-π/6。

解法二：三倍角公式和二倍角公式

題目中出現了三倍角和二倍角，所以直接先用三倍角公式和二倍角公式進行變換。

三倍角正弦公式：sin3x=3sinx-4(sinx)^3；

二倍角餘弦公式：cos2x=(cosx)^2-(six)^2=2(cosx)^2-1=1-2(sinx)^2。

因為三倍角正弦變換後都是正弦，且題目中還有sinx，所以cos2x也就用含正弦的那個形式。最後化簡得到：

(2sinx 1)[2(sinx)^2-1]=0，即2sinx 1=0或者2(sinx)^2-1=0。

對于2(sinx)^2-1=0，可以利用倍角公式化為cos2x=0來計算，也就是同解法一。還可以直接解出sinx的值，進而求出x的值。

解法三：兩角和正弦公式、倍角公式

在不知道和差化積和三倍角公式的情況下，可以先用兩角和的正弦公式對3x進行處理。

即sin3x=sin(x 2x)=sinxcos2x cosxsin2x=sinxcos2x cosx·2sinxcosx=sinxcos2x sinx·2(cosx)^2。

處理到這一步後，再将sinx·2(cosx)^2和sinx作為一組進行變換，即：sinx·2(cosx)^2-sinx=sinx[2(cosx)^2-1]=sinxcos2x。這樣一來，再提公因式cos2x就得到：cos2x(2sinx 1)=0。後面的解法就同解法一了。

對于現在的學生來說，他們沒有學習和差化積和三倍角公式，所以這道題的難度就在于對3x這個三倍角的處理，也是難住不少學霸的地方。

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