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大家好！本文和大家分享一道2011年江蘇高考數學真題。這道題的難度并不算大，但題目綜合性比較強，考查了橢圓的标準方程、中點坐标、直線的斜率、直線方程、點到直線的距離、直線間的位置關系等知識。對于高中學生來說，這是一道必須要掌握的題。

先看第一小問：求直線PA的斜率k。

要求直線的斜率，那麼隻需要在直線上任意求出兩個點的坐标即可。由于直線PA過坐标原點，所以坐标原點(0,0)在直線PA上，接下來還需要再找一個點。

由題意知，直線PA過線段MN的中點，而根據橢圓的标準方程可以得到：M(-2,0)，N(0,-√2)，所以線段MN的中點坐标為Q(-1,-√2/2)。然後根據點O、Q的坐标就可以求出k的值。

再看第二小問：求點到直線的距離。

要求點到直線的距離，就需要求出點的坐标和直線的一般方程。求點P的坐标比較簡單，聯立直線PA的方程和橢圓的方程就可以求出直線PA與橢圓的兩個交點坐标，再根據點的位置确定點P和點A的具體坐标。

接下來再求直線AB的方程。點A的坐标已經求出來了，隻需要在直線AB上再找一個點就可以了。由于PC⊥x軸，所以點C的橫坐标與點P的橫坐标相同，并且由點C在x軸可知點C的縱坐标為0，這樣就求出了點C的坐标。知道了兩點坐标，可以用兩點式求直線方程，也可以先求出斜率再用點斜式求直線方程，并最終都寫成一般形式。

最後，再代入點到直線的距離公式就可以求出d的值。

最後看第三小問：證明兩線垂直。

證明兩線垂直可以通過證明當兩線斜率存在時它們的斜率之積為-1來證明，也可以用兩線方向向量的數量積為0來證明。

聯立直線PA與橢圓方程，可以解出點P和點A的坐标，從而得到點C的坐标。根據點A、C的坐标就可以求出直線AB的斜率，再用點斜式就可以求出直線AB的方程。注意的是，為了計算簡便，在求直線AB的方程時選擇點C的坐标，而不選擇點A的坐标。

兩直線的斜率都表示出來後再證明它們的乘積為-1即可。

上面是一個多數同學都能想到的方法，下面再分享一個更加簡單的方法。

我們先設出點P和點B的坐标，從而可以表示出點A和點C的坐标。然後我們就用這幾個點的坐标表示出直線PA、直線AB和直線PB的斜率。表示出來後可以發現，直線AB的斜率為直線PA的斜率的一半，接着再計算直線PA與直線PB的斜率的積，并用橢圓方程消去y，從而就可以得到兩線斜率之積為-1。

總的來說，這道題的難度不算大，但是考查的知識點比較綜合，需要大家細心對待。

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