本文主要介紹指數符合函數y=2^(x^2 2x 1）的定義域、值域、對稱軸、單調性、凸凹性等性質，并舉例通過導數知識求解函數上點切線的主要過程和步驟。

函數的定義域：

函數基本類型為指數函數，由函數特征知函數的自變量x可以取全體實數，即定義域為：（-∞， ∞）。

在複合函數當中，内層函數和外層函數在相同的定義域内有相同的增減性或不同的增減性。

設由函數y=f(u)和u=g(x)複合而成的函數為y=f[g(x)].如果g(x)在[a，b]上是增函數，f(u)在[g(a)，g(b)]上是增（減）函數，那麼複合函數y=f[g(x)]在[a，b]上增（減）函數；

如果g(x)在[a，b]上是減函數，f(u)在[g(b)，g(a)]上是增（減）函數，那麼複合函數y=f[g(x)]在[a，b]上減（增）函數.

對于本題,該複合函數可由以下兩個函數複合而成:

y=2^u,u=2^(x^2 2x 1），

其中y=2^u,是指數函數，在定義域上為增函數。

則當u為增函數時，y為增函數，反之亦然。

對于u=x^2 2x 1為二次函數，單調性與開口和對稱軸有關，其中開口向上，對稱軸為x=-1,則：

(1)當x∈(-∞，-1)時，函數為減函數；

(2)當x∈(-1, ∞)時，函數為增函數。

此處介紹用函數的導數知識求解，步驟為：

∵y=2^(x^2 2x 1）,

∴dy/dx=2^(x^2 2x 1)*ln2*(2x 2),

令dy/dx=0,則：2x 2=0,即x=-1.

(1)當x∈(-∞，1)時，dy/dx<0,函數為減函數；

(2)當x∈(-1, ∞)時，dy/dx>0,函數為增函數。

則當x=-1時，函數有最小值，即：

ymin=2^[1*(-1)^2-2 1]=2^0=1.

可知函數的值域為：[1, ∞)

dy/dx=2^(x^2 2x 1)*ln2*(2x 2)

d^2y/dx^2

=ln2*[2^(x^2 2x 1)(2x 2)^2*ln2 2^(x^2 2x 1)*2]

=ln2*2^(x^2 2x 1)[(2x 2)^2*ln2 2]

∵(2x 2)^2>0,∴(2x 2)^2*ln2 2>0,

即d^2y/dx^2>0，則函數的圖像為凹函數。

※舉例求點A(0,2)處的切線和法線方程。

在點A(0,2)處，有:dy/dx=2*2*ln2,即為切線的斜率，

則切線方程為：y-2=4ln2*x,

法線的斜率與切線的斜率乘積為-1，即可求出法線方程為：

y-2=-x/(4ln2).

※舉例求點B(-1, 1)處的切線和法線方程。

在點B(-1,1)處，有:

dy/dx=ln2*0=0,即為切線的斜率，

則切線方程為：y=1,

此時法線的斜率不存在，則法線方程為：x=-1.

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