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肖博數學小題專練·(二) 平面向量、複數、算法初步

一、選擇題

1.(2017·長春質量監測(二))已知複數 z=1 i，則下列命題中正确的個數是( )

①|z|= 2;② z =1-i;③z 的虛部為 i;④z 在複平面内對應的點位于第一象限。

A.1 B.2

C.3 D.4

答案 C

解析 ①|z|= 1

2 1

2= 2，①正确;②由共轭複數的定義知，

②正确;③對于複數 z=a bi(a∈R，b∈R)，a 與 b 分别為複數 z 的

實部與虛部，故 z=1 i 的虛部為 1，而不是 i，③錯誤;④z=1 i

在複平面内對應的點為(1,1)，在第一象限，④正确。故正确命題的個

數為 3，選 C。

2.(2017·合肥市第一次質檢)已知複數 z=2 i1-i(i 為虛數單位)，那麼 z 的共轭複數為( )

A.32 32i

4.(2017·成都第二次診斷)已知平面向量 a，b 的夾角為π3，且|a|=1，|b|=12，則 a 2b 與 b 的夾角是( )

A.π6

B.5π6

C.π4

D.3π4

答案 A

解析 因為|a 2b|2=|a|2 4|b|2 4a·b=1 1 4×1×12×cosπ3=3，所以|a 2b|= 3，又(a 2b)·b=a·b 2|b|2=1×12×cosπ3 2×14=14 12=34，所以 cos〈a 2b，b〉=(a 2b)·b|a 2b||b|=343×12=32 ，所以 a 2b 與 b 的夾角為π6。

故選 A。

5.(2017·全國卷Ⅲ)執行如圖所示的程序框圖，為使輸出 S 的值小于 91，則輸入的正整數 N 最小值為( )

3

A.5 B.4 C.3 D.2

答案 D

解析 根據程序框圖，第一次循環：S=100，M=-10，t=2，第二次循環：S=100-10=90M=1，t=3，由于輸出 S 的值小于91，所以 N 的最小值是 2。滿足題意。

6.(2017·山東高考)執行兩次如圖所示的程序框圖，若第一次輸入的 x 的值為 7，第二次輸入的 x 的值為 9，則第一次、第二次輸出的 a 的值分别為( )4

A.0,0 B.1,1

C.0,1 D.1,0

答案 D

解析 當 x=7，b=2 時，b2=4>7 不成立，7 不能被 2 整除，所以 b=b 1=3，此時 32=9>7 成立，a=1，所以第一次輸出 a=1。當 x=9，b=2 時，b2=4>9 不成立，9 不能被 2 整除，所以 b=b 1=3，此時 32=9>9 不成立，9 能被 3 整除，a=0，所以第二次輸出 a=0。

7.(2017·全國卷Ⅱ)設非零向量 a，b 滿足|a b|=|a-b|，則( )

A.a⊥b B.|a|=|b|

C.a∥b D.|a|>|b|

答案 A

解析 依題意得(a b)2-(a-b)2=0，即 4a·b=0，a⊥b，故選 A。

8.(2017·洛陽第一次統考)已知向量 a=(1,0)，|b|= 2，a 與 b 的夾角為 45°，若 c=a b，d=a-b，則 c 在 d 方向上的投影為( )

A.55

B.-55

C.1

D.-1

答案 D

解析 依題意得|a|=1，a·b=1× 2×cos45°=1，|d|= (a-b)2=a2 b2-2a·b=1，c·d=a2-b2=-1，因此 c 在 d 方向上的投影等于c·d|d|=-1，

故選 D。

9.(2017·成都第二次診斷)若複數 z1=a i(a∈R)，z2=1-i，且z1z2為純虛數，則 z1 在複平面内對應的點位于( )

A.第一象限 B.第二象限5

C.第三象限 D.第四象限

答案 A

解析 z1z2=a i1-i=(a i)(1 i)2 =(a-1) (1 a)i2 為純虛數，則 a=

1，所以 z1=1 i，z1在複平面内對應的點為(1,1)，在第一象限，故選

A。

10.(2017·全國卷Ⅱ)執行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 a=-1，則輸出的 S=( )

A.2 B.3

C.4 D.5

答案 B

解析 依次運行程序，直至程序結束。S=0，K=1，a=-1。第一次循環，S=0-1=-1，a=1，K=2;第二次循環，S=-1 2=1，a=-1，K=3;第三次循環，S=1-3=-2，a=1，K=4;第四次循環，S=-2 1×4=2，a=-1，K=5;第五次循環，S=2 (-1)×5=-3，a=1，K=6;第六次循環，S=-3 1×6=3，a=-1，K=7。由于 7>6，故循環結束。故選 B。6

11.(2017·浙江高考)如圖，已知平面四邊形 ABCD，AB⊥BC，

AB=BC=AD=2，CD=3，AC 與 BD 交于點 O。記 I1=OA→·OB→，I2

=OB→·OC→ ，I3=OC→ ·OD→ ，則( )

A.I1

C.I3

答案 C

解析 顯然∠BOC 為銳角，所以 I1=OA→ ·OB→<0，I2=OB→·OC→ >0，

I3=OC→ ·OD→ <0。如圖，過點 B 作 BM⊥AC 于點 M，過 A 作 AN⊥BD

于點 N。因為△ABD 和△ABC 均為等腰三角形，所以 BN=ND，AM=

CM，所以|OA|<|OC|，|OB|<|OD|，∠AOB=∠COD>π2，所以 I1>I3。所以 I3

12.(2017·湖北黃岡二模)已知平面向量 a，b，c 滿足|a|=|b|=1，a⊥(a-2b)，(c-2a)·(c-b)=0，則|c|的最大值與最小值的和為( )

7

A.0 B. 3

C. 2 D. 7

答案 D

解析 ∵a⊥(a-2b)，∴a·(a-2b)=0，即 a

2=2a·b，又|a|=|b|=1，

∴a·b=

1

2，a 與 b 的夾角為 60°。設OA→ =a，OB→=b，OC→ =c，以 O 為

坐标原點，OB→ 的方向為 x 軸正方向建立如圖所示的平面直角坐标系，

則 a=









1 

2，

3

2

，b=(1,0)。設 c=(x，y)，則 c-2a=(x-1，y- 3)，

c-b=(x-1，y)。又∵(c-2a)·(c-b)=0，∴(x-1)2 y(y- 3)=0。即

(x-1)2 











y-

3

2

2=

3

4，∴點 C 的軌迹是以點 M











1，

3

2

為圓心， 3

2 為

半徑的圓。又|c|= x

2 y

2表示圓 M 上的點與原點 O(0,0)之間的距離，

所以|c|max=|OM|

3

2 ，|c|min=|OM|-

3

2 ，∴|c|max |c|min=2|OM|=

2× 1

2 









3

2

2= 7，故選 D。

二、填空題

13.如果 z=

1-ai

1 i

為純虛數，則實數 a 等于________。

答案 1

8

解析 設 z=

1-ai

1 i

=ti(t∈R 且 t≠0)，則 1-ai=-t ti，





1=-t，

-a=t，

a=1。

14.(2017·江蘇高考)如圖是一個算法流程圖。若輸入 x 的值為 116，則輸出 y 的值是________。

答案 -2

解析 由流程圖可得 y=





2

x，x≥1，

2 log2x，0

所以當輸入的 x

的值為 1

16時，y=2 log2

1

16=2-4=-2。

15.(2017·湖北七市聯考)平面向量 a，b，c 不共線，且兩兩所成

的角相等。若|a|=|b|=2，|c|=1，則|a b c|=________。

答案 1

解析 ∵平面向量 a，b，c 不共線，且兩兩所成的角相等，∴它們兩兩所成的角為 120°。∵|a b c|2=(a b c)2=a2 b2 c2 2a·b 2b·c 2a·c = |a|2 |b|2 |c|2 2|a||b|cos120° 2|b||c|cos120° 92|a||c|cos120°= 22 22 12 2×2×2× 









 -

1

2 2×2×1× 









 -

1

2

2×2×1×









 -

1

2 =1，∴|a b c|=1。

16.已知向量 a，b 滿足|a|=2，|b|=1，且對一切實數 x，|a xb|≥|a b|恒成立，則 a，b 的夾角的大小為________。

答案 2

3π解析 |a xb|≥|a b|恒成立⇒a2 2xa·b x2b2≥a2 2a·b b2 恒成立⇒x2 2a·bx-1-2a·b≥0 恒成立，∴Δ=4(a·b)2-4(-1-2a·b)≤0⇒(a·b 1)2≤0，∴a·b=-1，∴cos〈a，b〉= a·b|a|·|b|=-12，又〈a，b〉∈[0，π]，故 a 與 b 的夾角的大小為2π3 。

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