高階導數求法圖-tft每日頭條

高階導數求法圖

生活更新时间:2025-01-20 10:44:08

高階求導在資料中很常見，最明顯的就是泰勒級數，前面有關泰勒級數的文章已經說明了一階求導，二階求導，三階求導的含義，但對它的直觀幾何意義本篇将進一步說明：

首先來看一個三角函數的曲線

一階求導：大家都知道是在表示每一點的斜率。

高階導數求法圖（探讨高階求導）1

二階求導：是在表示斜率的變化率，如圖棕色部分斜率不斷增大，所以二階導數肯定為正，曲線是向上凹的

高階導數求法圖（探讨高階求導）2

如圖紅色部分斜率不斷減小，所以二階導數肯定為負，曲線是向上凸的。

高階導數求法圖（探讨高階求導）3

例如下面兩個圖形，一個圖形很陡，一個圖形比較平緩，但它們的二階導數肯定都是正數。

二階導數為正，但斜率的變化率很大

高階導數求法圖（探讨高階求導）4

二階導數為正，但斜率的變化率較小

高階導數求法圖（探讨高階求導）5

我們如何來理解這個二階導數本質原理呢？

高階導數求法圖（探讨高階求導）6

圖中兩個微小的變量dx，它們的增量之差就是d（df）。你可以想下，如果f（x）是一次函數，d（df）肯定是0。因為df1=df2.

高階導數求法圖（探讨高階求導）7

d（df）就是斜率的變換率乘以（dx）^2

高階導數求法圖（探讨高階求導）8

二階導數就是變化率的變化率比上（dx）^2

高階導數求法圖（探讨高階求導）9

如圖藍色部分，斜率不斷減小，說明汽車速度不斷減小，所以二階導數（加速度）為負。

同理另一部分，斜率不斷增加，說明汽車速度在不斷增加，所以二階導數（加速度）為正。

高階導數求法圖（探讨高階求導）10

位移的三階導數我們取名為急動度，如果加速度變化率不為0，說明汽車在不斷的加速前進。

高階導數求法圖（探讨高階求導）11

以上就是對高階導數的直觀描述，高階導數最大的應用就是泰勒級數。

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