大一高等數學求極限的教學?前面所讨論的都是在一維實數集R上的數或數集以及在其上的映射、極限、微分和積分等内容下面把相關的内容拓廣到多維空間上，我來為大家講解一下關于大一高等數學求極限的教學?跟着小編一起來看一看吧!

大一高等數學求極限的教學

前面所讨論的都是在一維實數集R上的數或數集以及在其上的映射、極限、微分和積分等内容。下面把相關的内容拓廣到多維空間上。

首先，将映射和極限作相應的多維拓廣。為此，先引入幾個概念：

1）笛卡爾積集

設x(1),x(2),...,x(n)是n個實數，将其構成一個n維向量（數組）

(x(1),x(2),...,x(n))

将所有n維向量組成的集合稱為n維笛卡爾積集

Rⁿ = R×R×...×R = {(x(1),x(2),...,x(n))|x(i)∈R,i=1,2,...,n}

Rⁿ上的向量也被稱為“點”，x(i)（i=1,2,...,n）為相應的坐标。此外，在Rⁿ上還定義了加法和數乘，即對于

A = (a(1),a(2),...,a(n))∈Rⁿ

B = (b(1),b(2),...,b(n))∈Rⁿ

λ∈R

定義

A B ≝ (a(1) b(1),a(2) b(2),...,a(n) b(n))

λA ≝ (λa()1,λa(2),...,λa(n))

2）歐幾裡得空間

如果在上述的n維笛卡爾積集Rⁿ的基礎上，再定義内積如下

A•B = ∑[i=1,n] a(i)b(i)

則此Rⁿ稱為n維歐幾裡得空間。相應空間内的向量自内積的開方（√A•A）被定義為此向量的模（|A|），也稱歐幾裡得範數（‖A‖），即

‖A‖ = |A| = √(∑[i=1,n] a(i)²)

對于歐幾裡得範數（或模），有如下性質

a）正定性，即|A|≥0，且|A|=0當且僅當A=0=(0,0,...,0)。

b）對稱性，即|A|=|-A|。

c）三角不等式，即|A-C|≤|A-B| |B-C|

3）距離

一維實數集是個線性序集，所以其上的“點”（即實數）具備大小關系。但拓廣到n維歐幾裡得空間後，其上的點就不再具有此關系。在此，我們引入距離的概念，即對于兩點A和B定義其距離為|A-B|。顯然，|A-B|=0當且僅當A=B。

有了這些概念作為基礎，下面就可以将映射（函數）和極限拓廣到n維的歐幾裡得空間上去。

一）n元函數

設Rⁿ是n維歐幾裡得空間，定義如下映射為n元函數

f: Rⁿ→R

或表示為

y = f(x(1),x(2),...,x(n))

其中，y∈R且x(i)∈R（i=1,2,...,n）。

二）n維歐幾裡得空間下點列的極限

設有點列{X(k)|X(k)∈Rⁿ,k=1,2,...}，如果存在定點A∈Rⁿ，滿足

∀ε>0,∃N,∀k>N(|X(k)-A|<ε)

則稱此點列收斂，A為其收斂極限，表示為

lim[k→∞] X(k) = A，或X(k)→A

Rⁿ上點列極限與其坐标分量數列極限的關系

設{X(k)}是Rⁿ上的點列，A是Rⁿ上的一個定點。點列{X(k)}收斂于A的充分必要條件是{X(k)}的n個坐标數列收斂于A的相應n個坐标。

三）n元函數的n重極限

設有n元函數

y = f(X)

其中，y∈R，X∈Rⁿ。對于定點X0∈Rⁿ，如果存在A∈R滿足

∀ε>0,∃δ,∀X(0<|X-X0|<δ(|f(X)-A)|<)ε)

則稱n元函數f(X)在X0點上收斂，A為其收斂n重極限（或簡稱極限），表示為

lim[X→X0] f(X) = A

注意，這裡的X→X0表示X可以任何方式逼近定點X0。

四）n元函數的n次極限

設有n元函數

y = f(X)

其中，y∈R，X=(x(1),x(2),...,x(n))∈Rⁿ。對于定點X0=(x0(1),x0(2),...,x0(n))∈Rⁿ，如果存在A∈R滿足

lim[x(k1)→x0(k1)]lim[x(k2)→x0(k2)]...lim[x(kn)→x0(kn)] f(X) = A

其中k1,k2,...,kn是1,2,...,n的某一排列，則稱n元函數f(X)在次序k1,k2,...,kn下收斂，A為其此次序下收斂的n次極限。

注意，針對不同的次序k1,k2,...,kn（即1,2,...,n的不同排列），相應的n次極限不一定相同。但若n元函數f(X)存在n重極限，則其任意次序下的n次極限都相同，且等于其n重極限。

五）n元函數的連續性

設有n元函數

y = f(X)

其中，y∈R，X∈Rⁿ。對于定點X0∈Rⁿ，如果成立

lim[X→X0] f(X) = f(X0)

則稱n元函數f(X)在點X0連續。

六）向量值函數

前面n元函數的值是個實數，即函數值是一維的。如果将m個n元函數組合起來，其組合後的值是m維歐幾裡得空間上的一點。此n元函數的組合稱為向量值函數。

關于極限論其他概念和性質的多維拓廣，在此略。

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