1.三角形重心坐标為三個頂點坐标的平均值，即在△ABC中，A、B、C的坐标分别為（x₁，y ₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），則三角形的重心坐标為
這個定理的證明在平面直角坐标系中是比較容易的。
D是BC中點，因此D的坐标可以計算出。
然後根據AO：DO=2：1，即可以計算出O點的坐标。
2.三角形重心到三個頂點距離的平方和最小
在△ABC中，P是三角形内一點，求證：當P是三角形重心時，PA² PB² PC² 取得最小值。
談到距離平方之間關系的證明，初中數學較少遇見這類問題。使用高中解析幾何中的兩點間距離公式比較容易解決，因為兩點間距離的平方表達式中已經去掉了根号。
設A、B、C的坐标分别為（x₁，y ₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），設P的坐标為（x，y），由兩點間距離公式知：
|PA|²=（x- x₁）² （y-y₁）²
|PB|²=（x- x₂）² （y-y₂）²
|PC|²=（x- x₃）² （y- y₃）²
因此|PA|² |PB|² |PC|²
=（x- x₁）² （y-y₁）² （x- x₂）² （y-y₂）² （x- x₃）² （y- y₃）²
= 3x² - 2x（x₁ x₂ x₃） （x₁² x₂² x₃²）
3y² -2y（y₁ y₂ y₃） （y₁² y₂² y₃²）
因為（x₁，y ₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）都是定值，且x和y獨立，因此求這個式子的最大值，隻需要分别求
3x²-2x（x₁ x₂ x₃）
3y²-2y（y₁ y₂ y₃）
這兩個式子的最大值即可。
容易看出，這是兩個分别以x和y作為參數的朝上開口的抛物線。
抛物線y=ax² bx c在x取對稱軸坐标x=-b/2a時，取最小值。
即x=1/3 (x₁ x₂ x₃)，y=1/3（y₁ y₂ y₃）時，|PA|² |PB|² |PC|²最小。
這個點（x，y）即是三角形重心的坐标。
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