本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

一則寓言故事帶來的教學啟發

作者 : 鄒太芹

作品編号：076

看過這樣一個寓言故事，出處已經不記得了，說有兄弟倆，哥哥非常忠厚老實，受人尊重。弟弟油嘴滑舌，愛吹牛，受别人嫌棄。有一天夜晚刮大風，天亮後，大家都在議論紛紛，說風如何的大，天呈異象。弟弟就接着說，風确實大，昨晚我家院内的那口井都被吹到籬笆外了。大家聽後紛紛嘲笑弟弟，說他太能吹牛。弟弟被嘲笑後，很下不來台，他習慣性想起經常幫自己善後的哥哥。就梗着脖子說，“不信你問我哥去。”“去就去，看看怎麼風把你家丼吹籬笆裡了。”大家推推搡搡，就一起帶着疑惑去求證哥哥。哥哥正在地裡打理莊稼，一看來了這麼一大群人，後面還有耷拉着腦袋的弟弟，就知道弟弟又吹牛了。聽完大家的描述，哥哥知道弟弟又把牛吹大了，哥哥智慧的一笑說，确實昨晚丼被吹到籬笆外了。大家都驚詫地張大嘴巴。隻聽哥哥接着說，是這樣的，由于昨夜風太大，吹跑了籬笆，正好讓丼出現在籬笆外。大家恍然大悟。

看完這則故事，我為哥哥的智慧折服，所有的運動都是相對的。不禁想到數學中圖像平移的例子。有種豁然開朗的感覺。

對于圖像位置平移，我們刻畫位置變化都是數據來衡量的。借助平面直角坐标系坐标是容易實現數據變化觀察的。

首先點在平面直角坐标系中平移，如點在平面直角坐标系中平移，橫坐标是左減右加，縱坐标是上加下減。這個移動帶來的坐标變化規律學生是能夠接受的。按照知識發展體系，圖像由點到線，線在坐标系中的平移法則也應該是一緻的。組成直線每一個點的數據平移法則都滿足上面的規律，橫坐标是左減右加，縱坐标是上加下減。那得到整條直線對應的橫縱坐标移動變化規律都應該是左減右加，縱坐标是上加下減。事實上并不是這樣。因為函數兩個變量之間本身具有一定的式子結構關系，反應到坐标變化，并不能用點的坐标變化規律來刻畫。例如在介紹一次函數時，滬科版教科書八年級上隻介紹了直線的上下平移，回避了左右平移，偶爾作業上有左右平移也隻是從計算觀察角度得到對應的解析式，運用不完全歸納法得到橫坐标是左加右減，縱坐标是上加下減。很多學生就是不明白為什麼 點的運動坐标變化規律，到了函數解析式就會不一樣，尤其到了二次函數，圖像上下，左右平移不能再回避的時候，法則就是硬背了。考試不影響得分，但心中的疑惑就是一直解不開，不知道看此篇文章的老師有沒有這個疑惑。

對于直線大家都能夠知道圖像是經過原點的直線，是其向上平移一個單位得到直線，大家幾乎沒有懷疑，有的是根據表格中坐标的數據規律得到的，更多的同學是根據以前點的移動規律得到的。問題就出在這裡，縱坐标能夠用以前的規律，橫坐标為什麼就不行了？一切疑問與矛盾當解釋不了的時候，我們就要回到知識的原點。對于形如的所有直線都經過原點，直線沿y軸向上平移一個單位，就經過（0,1）點，不再經過原點。此刻我們就對經過原點的直線熟悉怎麼辦？所有的運動都是相對的，此刻，我們可以将x軸沿y軸方向，向上平移一個單位，讓平移後的直線再次在新的平面直角坐标系中，經過原點，如圖7，在新的坐标系下令解析式為。因為x橫沿y軸方向，向上平移一個單位，所以原來的所有橫坐标不變，縱坐标比原來減少一個單位，即。所以直線回到原坐标的解析式就是整理得

同樣若将直線沿軸向右平移平移1個單位，直線就經過點（1,0），不再經過原點。同樣我們可以将軸沿軸方向，向右平移一個單位，讓平移後的直線再次在新的平面直角坐标系中，經過原點，如圖8

在新的坐标系下令解析式為

因為軸沿軸方向，向右平移一個單位，所以所有縱坐标不變，橫坐标比原來減少一個單位，即。所以直線回到原坐标的解析式就是整理得

這樣無論上下還是左右平移直線，都相當于平移對應的坐标軸，讓直線回歸到經過原點（研究圖像時的原始位置），通過坐标軸位置的變化，感受坐标數據帶來的變化，這樣一脈相承下來，二次函數也按照這個路徑研究。二次函數的原始位置是頂點在原點的形式，當發生上下或左右平移，我們平移對應的坐标軸，讓抛物線回到頂點為原點，始終解析式為形如，發生上下，左右平移，對照研究一次函數平移方式，得到上加下減，左加右減。學生在理解的基礎運用，會心悅誠服。以此類推，在今後研究其他如指數函數，幂函數的平移也是如此。這應該就是今年高考作文中的“妙手”的含義，妙手在于統一，可以在統一中運用才能成為妙手。前後貫穿結構統一，不僅想的到，還能想的好，就是妙手。

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