有限元法個人總結

從本科大三《結構力學》（李廉锟）的矩陣位移法懵懂的認識，到大四上學期《彈性力學基礎》（劉潤星）的混亂，再到本科畢業論文時的ABAQUS軟件模拟過程中的無知，這是自己認識有限元法的懵懂期。

從研一徐榮橋老師的《變分原理》，到後來自學的n本教材，包括《有限單元法》（王勖成），《結構分析的有限元法與MATLAB程序設計》（徐榮橋），《非線性有限元及程序》（淩道盛 徐興）等，自己算是對有限元的基本原理有了個大緻的掌握。

為了防止自己在以後應有限元的軟件（基本上現在就學了個ABAQUS，MATLAB一知半解）過程中犯形而上的錯誤，故寫這篇總結。采用的形式就是問題-答案的模式。

1.有限元的發展曆史是什麼？

答：有限元法是有結構力學中的矩陣位移法發展而來的，具體發展曆程見教材《有限單元法》（王勖成），《非線性有限元及程序》（淩道盛 徐興）等。

2.有限元法的理論基礎是什麼？

答：有限單元法的理論基礎是從用加權餘量法求解微分方程的等效積分或等效積分的弱形式（應用了分部積分和高斯公式進行了降階，對不起自己，高等數學沒學好，這一部分沒碰到具體問題就會忘記）中發展起來的。

為什麼這樣說呢？因為，（本着“行早于知”“工程技術推動科學理論進步”哲學觀），在有限單元法出現之前的上古時代，物理數學家對一些工程領域的問題早就推導出了它們應遵循的基本方程（又叫控制方程，常微分方程或偏微分方程）和相應的定解條件。

那麼接下來就面臨一個問題，怎麼求解由“基本方程和定解條件”構成的方程組，或者換一種更通俗的說法：怎麼找到同時滿足“基本方程和定解條件”的解（也就是我們所關心的工程問題的答案）？

數學家，這群玩弄邏輯和數學符号“無中生有”的“混蛋們”，在思考上面這個問題的求解方法時，首先思考的是另外一個問題：要同時找到滿足兩類限制條件的解是不是有點煩呢，能不能把這兩類限制條件先統一起來（準确說是寫在一個方程裡面，數學家就會解方程而已，這個地方牽涉到的數學理論包括：線性代數，矩陣函數，矩陣運算以及其他可能現存但是我還未知的理論等。反正就是把好多式子用一個統一的形式寫出來了，這樣方便後面運算）

于是，數學家（這群玩弄邏輯和數學符号的“混蛋們”）想出了一種“偷天換日”的方法——微分方程的等效積分形式。

什麼叫微分方程的等效積分形式呢？說白了，很簡單，就是你觀察一下工程實際問題（這個最古老的問題就是物理學家研究的穩态傳熱問題——傳熱學裡面的，不懂的自己百度）的基本方程和定解條件，你會發現什麼？是的，那就是：一，它們等号的右邊都是一個奇妙的數字“0”（正所謂“太極生兩儀，兩儀生四象”“無并非無，無中可以生有”）；二，它們當中基本方程式微分方程，微分方程，微分方程！（我操，要吓尿了！對于我這個數學渣渣而言，高數就是噩夢！）

于是乎這群“混蛋們”發現基本方程和定解條件在它們對應求解域上的積分仍然是“0”，而“0 0=0”，故而，利用這一前提構造出了微分方程的等效積分形式。見下圖：

式中的A(u),B(u),v,v’分别表示問題的基本方程、定解條件和引入的兩個“參數”。這時注意：,v和v’是分别同基本方程和定解條件個數相等的任意函數。

好了，現在将這類限制條件（基本方程和定解條件）統一起來了，但是，在我們這些凡人看起來，這似乎并沒有什麼卵用，除了看起來形式簡單了一點之外，可能還會有人抱怨，“并且引入了‘兩個’新的參數，豈不是得不償失”。然而，事實并非是這樣的。

為什麼呢？因為在上古時代，數學家們就找到了求解微分方程的近似解法——加權餘量法。

那麼什麼是加權餘量法呢？

很簡單，如下面截圖：

這一部分參見徐榮橋老師《結構分析的有限元法與Matlab程序設計》P34頁，在平面梁單元中，用節點位移推導形函數的過程。（其實就是将在講怎麼将複雜的方程組用矩陣形式簡潔地表達出來，用到線性代數的理論）

上面這部分截圖中注意三句話：一，近似函數所取試探函數的項數越多，近似解的精度将越高，當n趨于無窮時，近似解将收斂于精确解。二，近似解通常選擇使之滿足強制邊界條件和連續性要求的要求的試探函數。（強制邊界條件參見《變分原理》）。三，任何獨立的完全函數集都可以用來作為權函數。

于是乎，根據權函數的不同又誕生了不同的加權餘量法，如：配點法，子域法，最小二乘法，力矩法，伽遼金法等。

伽遼金法原理如下：

上面是講得，主要得出一個結論：加權餘量法可以用于求解微分方程。

而數學家們發現，如下圖：

RITZ法的具體求解過程參見，徐榮橋老師《變分原理》。

至此，可以這樣說，有限元法的理論基礎，或者說數理基礎就是，等效積分伽遼金弱形式（自然變分原理）。

3.通過彈性力學變分原理建立彈性力學問題有限元法表達格式的步驟是什麼？

答：參見徐榮橋老師《結構分析的有限元法與Matlab程序設計》（p26—28）和王勖成老師《有限元法》（p77-82）。

個人總結：

1）結構的離散化

那就是根據問題選擇适當的單元類型。牽涉到各種數值積分，不同問題單元的适用性。

2）選擇位移模式（有的又叫插值函數，注意，王勖成老師和徐榮橋老師的插值函數不同，徐榮橋老師的插值函數指的是位移模式，而王勖成老師的插值函數實際上是形函數。）

（1）用節點位移表示單元内任意一點的位移（誕生了形函數矩陣）

（2）用節點位移表示單元内任意一點的應變（誕生了應變矩陣）

（3）用節點位移表示單元内任意一點的應力（誕生了應力矩陣）

實際上，後面（2）（3）點就是利用幾何方程和物理方程，得到應變矩陣和應力矩陣，這兩個矩陣在後面利用最小勢能原理和變分法推導單元平衡方程中将會用到。

3）分析單元的力學特性（建立單元剛度方程）

這一步就是利用最小勢能原理和變分法推導出單元的平衡方程，即得到單元剛度矩陣，等效節點力（所謂等效節點力，是指非節點荷載按照虛功相等的原則分配到單元節點上的力）。（節點位移假設為未知量）

4）建立整體平衡方程（整體剛度方程）

求解轉換矩陣（用于将局部坐标系下的節點力，節點位移和單元剛度矩陣轉換到整體坐标系下的矩陣）。

5）引入邊界條件

6）求解方程組以及應變和應力

這一部分就是淩道盛、徐興老師《非線性有限元及程序》書中講的主要内容。

7）後處理

當然以上隻是針對于靜力學問題的步驟，動力學問題求解步驟類似，可參見《結構分析的有限元法與Matlab程序設計》（徐榮橋）（p189-194），《非線性有限元及程序》（淩道盛 徐興）。

4.有限元法可求解問題的分類

有限元法可以求解問題從其性質上可分為三類：

1. 獨立于時間的平衡問題。（穩态問題，靜力學問題）

最後歸結為求解系數矩陣元素在對角線附近系數分布的線性代數方程組（一般為非齊次線性代數方程組）對于常見的結構應力分析問題，求解的是對應給定荷載的結構位移和應力。此類問題至今主要采用直接法。（列出整個結構的整體剛度方程）

1. 特征值問題（穩态問題的一種，靜力學問題）

它也是穩态問題，但是求解的是齊次方程。解答是使方程存在非零的解的特征值和與之對應的特征向量（模态）。在實際應用中，它們代表的可能是振動的固有頻率和振型，或結構屈曲的臨界荷載和屈曲模态等。

1. 依賴于時間的瞬時問題。（非穩态問題，動力學問題）

由于這類問題的方程是節點自由度對于時間的一階、二階導數的的常微分方程組，求解的是在随時間變化的載荷作用下的結構内唯一和應力的動态響應，或是波動在介質中的傳播、反射等，所以此類問題的求解主要是采用對常微分方程組直接進行數值積分的時間逐步積分法。依據所導緻的代數方程組是否需要聯立求解，可區分為時間步長隻受求解精度限制的隐身算法（如以Newmark法為代表），以及時間步長受算法穩定限制的顯示算法（如以中心差分法為代表）。為了有效地求解不同剛度的介質、材料或單元尺寸在同一問題中耦合作用所形成的方程，常采用隐式-顯式相結合的算法。

上述三類問題，從方程自身性質考慮，還存在對應的非線性情形。非線性可以由材料性質、變形狀态和邊界接觸條件引起的，分别稱為材料、幾何、邊界非線性。

5.有限元方法的未來研究方向

6.有限元分析過程的有效性和計算結果的可靠性問題

這個命題涉及到有限元模型的建立，恰當的分析方案和計算方法的選擇，以及對計算結果的正确解釋和處理這三方面。

1單元的類型和形狀的選擇（王勖成有限單元法P165）

上面這個問題可以換一種提問方式：

單元的不同為什麼會影響計算結果的精度？

答：選擇适當的位移函數是有限單元法分析的關鍵。（當然這是對于以位移作為未知量單位即位移元而言的。）因為不同的單元，其位移函數是不同的，采用越與實際位移越接近的位移函數的單元，模拟的效果越好。從上面的例子中可以看出，采用單元的位移函數的階次越與理論解的階次接近（或者說越高），那麼即使網格稀疏也能得到理想的解。

這是因為在單元形狀确定以後，位移模式将影響等效荷載的計算、剛度矩陣的建立和應力應變的計算。所以一個與真實位移分布有很大差别的位移模式，是很難得到很好的數值結果的。（徐榮橋結構分析的有限元p93-94）

為了保證解的收斂性，要求位移模式必須滿足：

1. 必須包含單元的剛體位移
2. 必須包含單元的常應變
3. 位移模式在單元内要連續，相鄰單元間要協調

滿足條件1、2的成為完備單元，滿足條件3的成為協調單元。

已經證明，對于完備的協調單元，其剛度系數的數值比精确的要大。這樣以來，在給定的荷載下，計算模型的變形比實際結構要小。因此，當單元網格分割得越來越細時，位移的近似解将由下方收斂于精确解。

2網格的劃分

網格的疏密和網格的過渡（有限單元法王勖成P166）。

7.什麼叫線彈性力學？或線性有限單元法？或者說線性和非線性有限單元法的區别

個人思考：

既然非線性耦合問題計算不易收斂（這幾天從自己建的模型中就能發現），那麼就需要進行解耦。解耦，是兩個層次上的，一個是對構件受力行為進行分析，明确其各個階段的主要非線性來源進行分析。二是對存在三個非線性耦合的問題找出其主要的非線性問題的來源，對主要非線性進行單獨考慮分析。也就是說，既要橫向考慮，又要縱向考慮。

引發的進一步思考是，在制定問題的分析方案時，可分階段進行考慮甚至分開建模。這個可以進行一下嘗試。

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