本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

數學的魅力——自由想象

作者 : 周光平

作品編号：098

說到數學魅力，就自然想起羅聲雄著的《數學的魅力》一書！彭翕成老師說，如果高中時就讀到這本書，那一定會很早就對數學産生興趣！會很早就愛上數學！的确如此，在看了此書的第一部分“幾何學中的經典音樂”時，就讓馬上體驗到了是數學的魅力——自由想象！

在小學時就有過這種魅力的體驗——從面積到體積的想象。

人教版六年級上冊在“圓”這一單元裡有這樣的練習：周長相等的長方形、正方形和圓，誰的面積最大？從長方形到正方形，從正方形到正多邊形，從正多邊形到圓，這個特殊化的進階過程，不正是驗證了方形到圓形的變化過程中，周長不變面積增加到最大的過程！這種想象自然就會頓悟到生活中的樹幹是圓的、水管是圓的…似乎就在诠釋着自然選擇的魅力和人類想象的智慧。通過大膽猜測小心驗證不僅會發現圓的面積最大，還可以順其繼續想象！如果方形拓展到方體，那圓就拓展為球，這樣在表面積相等即材料一定的情況下，體積或容積最大的容器是不是應該是球狀！就答案還未經小心求證，這種大膽猜測得到結論的魅力就已經讓人興奮不已！如果說從二維的面想到三維的體的想象這麼有趣，那我們從三維的體到二維的面展開想象也會很有意思的！例如，五年級的長方體和正方體單元的拓展材料中探索到凸多面體的點線面有歐拉公式：頂點數 面數-棱數=2（定值），例如，長方體頂點數8 面數6-棱數12=2。如果我們繼續想象，将點線面置于二維的平面上來研究，他們之間是否還具備這樣的規律呢？做一個展開圖的想象，把簡單的多面體去掉一個面形成網狀在攤平，就是平面上一般的封閉圖形，所有不交的區域都是多邊形，那确實存在類似這樣的關系：頂點數 區域數-邊數=1。如果再進一步從益智操作遊戲來展開想象也會有很巧的發現：把七巧闆的每個闆塊看成一個多邊形區域，進行拼合遊戲，要求拼闆與拼闆無任何重疊，即面與面不重合（無交并），對應“可加性”。因為七巧闆滿足保積變形，隻允許邊與邊交并，或者頂點與頂點交并。那七巧闆的操作就從連通到分割，從拼合到連通，歐拉示性數不變。這不正好是用歐拉-笛卡爾公式來計算歐拉示性數，正好揭示了圖形的拓撲不變量！ 數學的魅力就體現在這樣不盡的自由想象中！她不僅給我們帶了樂趣！也帶來了進一步展開想象的沖動，到了中學這種自由想象的魅力更是個無窮的空間！

大家熟悉的畢氏定理就是一個充滿無限想象的定理，無限魅力的定理。有了它，讓我們回憶起了兩點間線段最短、無理數；想到了點到線距離、點到點的距離表達式是。有了它，從維度上去想象，在三維空間中，用畢達哥拉斯定理的距離表達式是；在四維的歐幾裡得空間中，用畢達哥拉斯定理的距離表達式。

事實上，畢達哥拉斯定理不僅應用範圍廣，還體現在我們對它自由地想象延展。它不僅适用于建築學物理學天文學等，事實上它幾乎在所有領域和運用上都是适用的。我們熟悉的作為研究幾何的三角形，其邊角度量及其關系，就是從定理出發展開想象，遇見了經典的正餘弦定理、三角函數性質等等，如果有興趣，我們還可以從更多操作的動态變化過程中去想象就會得到一次次的驚喜。例如，從熟悉的這個三角形（圖1）開始展開想象，會發現一個個不易證明的不等式：

大家知道如果a>0，b>0 ， c>0，則無理不等式顯然成立。而它的幾何模型如圖（1）：在ΔABC中，CD為AB上的高，且AD=a,BD=b,則,AB=a b,因為AC BC>AB,所以。

如果把圖1中的RTΔBCD沿CD翻折，使它成直二面角，如圖2這樣在空間四邊形ABCD中仍可得到ΔABC，無疑地，它是命題“、、三數中，任意兩數之和大于第三數”的幾何模型。

如果把RTΔBCD再繼續翻轉，使之與RTΔACD疊合，如圖（3），仍得ΔABC。其中AB=a－b(設a>b),∵AC-BC<AB(其中a>b)是它所表示的無理不等式。

如果每條邊的賦值不同，圖1中的ΔABC還是無理不等式：“若a>b、b>c 、c>0，則的幾何模式。

為此，我們隻須令：AD=,BD=，CD=，

則：AC= , BC=,

因為:

當且僅當∠ACB=時取等号，此時有：

即時取等号。

如果在圖1中過C點作AB之平行線并在上面取一點C',使它與A、Ｂ兩點等距離：如圖（4），根據同底等高的三角形中，以等腰三角形的周長最短。無疑地，圖（4）是無理不等式：

數學的魅力源自于想象，想象背後的實質是那火熱的思考！思考帶給你最重要的價值是什麼？是對自由的體驗，是獨上高樓，望盡天涯路的驚喜，是人生中很難獲得的精神财富之一，這或許就是數學的想象帶給我們的無限魅力吧！

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001 閱讀《數學的故事》有感

002 我想和數學談場戀愛

003 數學“化錯”中的美

004 讓數學思考成為數學課堂的主旋律

005 盧梭的“錯”？

006 數學教學案例《找次品》

007 基于優化學生數學思維的高效課堂創建——以等腰三角形的判定一課為例

008 從特殊到一般，引導數學思維

009 數學文化融入家庭教育的研究

010 sin 震蕩函數的圖像分析

011 四階幻方的“太極圖”性質

012 無理數的定義和實數理論的建立

013 一個容易被忽視的問題——數學文化

014 “雙減”背景下初中數學學科的合作學習方式探究

015 中學數學德育滲透的方法與路徑

016 《數學的力量》讀後感

017 基于數學文化的單元統整教學設計——以“圓的認識與面積”教學為例

018 有助于數的理解的數字圈環

019 以折疊為例，探究生長型數學教學模式

020 我從事數學科普寫作的經驗與啟示

021 在閱讀中滋長智慧——讀《教育智慧從哪裡來》有感

022 學習數學史 做數學的使者

023 開數學文化之窗 啟數學文化魅力——閱讀《美麗的數學》有感

024 “文學獨白”——數學教學因你而精彩

025 如何用多面體三等分正方體

026 HPM視角下《圓的周長》教學設計

027 被誤解的“勾股定理”

028 好玩的數學

029 幫小青蛙設計一個井

030 萬物的基礎——數學——讀《從一到無窮大》有感

031 讀《孫子算經》雞兔同籠問題有感

032 HPM視角下高中數學多樣化作業的設計

033 攀越高峰的領路人——數學文化

034 我的好兄弟：數學

035 細嗅數學文化之香

036 藤蔓的喜悅

037 物理力學中數學的影子

038 複數外傳

039 函數的曆史和發展

040 數學文化與我

041 數學之趣

042 探索數學知識背後的秘密

043 數學文化和我的數學學習

044 古代算數幾何形體——陽馬與鼈臑

045 數學文化與我的數學學習

046 我與數學文化

047 “形象”的數學

048 站在巨人的肩膀上學習數學

049 從數學文化和個人影響的角度剖析對數的曆史

050 論數學文化

051 我與數學文化

052 正弦定理的源起與應用

053 數學文化融入初中數學教學的實踐與思考

054 給數字愛好者的1個全新的0至9數字思考挑戰及應用問題

055 并不需要的“承重牆”與數學課改中的問題 —— 兼與馬立平博士商榷

056 奇妙的規律

057 生活中的“家常便飯”——數的表示方法

058 讀《黃東坡智慧大講堂——帶你發現數學之美》有感

059 通識教育視角下初中數學思維培養從直觀向抽象過渡的研究

060 讀《古今數學思想》有感

061 為什麼圓的面積的導數等于周長？球的的體積的導數等于其表面積？

062 《奇妙的數學文化》讀後感

063 數學文化視角下《九宮圖的奧秘》教學設計

064 關于畢達哥拉斯定理适用蒙特卡羅方法驗證的探讨

065 遨遊數學星空，體味數學奇妙

066 核心素養下的，數學文化中的美育滲透

067 探尋數學之奇，欣賞數學之美

068 框架思維——讀《數學這樣學就對了》有感

069 從肌肉記憶到《幾何原本》第四公理

070 《數學大世界》讀後感

071 除法才是四則運算的基礎：兼與馬立平博士商榷

072 從“海盜分金”到“囚徒困境”——博弈該如何進行？

073 “0”與“1”的辯證法和數學學習之路

074 感悟數學

075 我的好夥伴：數學

076 一則寓言故事帶來的教學啟發

077 神奇的數學 ——最大公因數、最小公倍數

078 怎樣學好數學

079 “7”真是個神奇的數字

080 《一個定理的誕生：我與菲爾茨獎的一千個日夜》讀後感

081 夢想中的職業，都與數學息息相關

082 哪⾥有數，哪⾥就有美⸺讀《數學之美》有感

083 探索信息技術融入初中數學文化實踐活動

084 秦九韶數學案——随機抽樣統計推理的反問題

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089 了解微積分後的那些事……

090 不會？不，會

091 一個偶然的發現——完全數及其基因構造數列

092 在規矩方圓中求索——“圓的認識”的文化育人視界

093 歐拉公式的幾何證明與意義

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