作者 | 馮克勤（清華大學數學科學系）

來源 |《大學數學》2004年第20卷第5期

高校數學課應當增加幾何、代數（甚至離散數學）的比重，這是多年來議論的話題。幾何數學問題最嚴重，不少學校現在已缺乏講拓撲學的教員，幾何課隻剩下講經典曲線曲面的微分幾何。不少人對加強幾何教學發表了看法和建議（比如最近北大陳維桓教授在《高等數學研究》中的文章），加強幾何與代數教學可以說出一大堆理由。我想結合自己對本科生的教學情況，談一些個人看法，供參考。

目前多數學校的代數課為線性代數（或叫高等代數，包括多項式理論）和近世代數（或叫抽象代數，講述群、環、域）。線性代數作為兩個學期的基礎課，普遍受到重視，本文不談。對于近世代數，多數學校是周三學時一個學期的選修課。近世代數作為必修課還是選修課并不十分重要，主要問題是：不少學校這門課的教學效果不十分好，學生覺得太抽象，沒有掌握這門課的本質思想和方法。而這門課的思想卻是很豐富的，其中的原因有教師的教法和水平問題，也有課程安排問題。當然還有更深層次的問題：在世界先進的數學研究和其他科學和技術領域，現代的代數學已是重要的工具，但在國内這方面有不小差距。

抽象代數研究各種代數結構的性質和分類，形式化推理多，習題比較難。數學的抽象是各種具體對象中提煉出共性，從而使應用更加廣泛。而學生的最大問題是心中沒有多少例子，不知道形式化的推理在幹什麼，不了解為什麼要研究群、環、域這些代數結構。曆史上，伽羅華研究高次代數方程根式可解性提出群的思想，高斯研究二次型整數解讨論高斯整數環的唯一因子分解，庫默爾研究費馬猜想導緻環中的理想概念，但是這些内容（以及用域的擴張解決三等分角和正多邊形尺規作圖等等）大都要到課程的最後才講到，甚至由于學時太少不能講。學生學了一堆空泛的定義和定理，後面沒有一個課程用到群環域，結果是學生在考完試之後，關于群環域的知識幾乎全都忘掉了。

我們的第一個想法是：大學第一學期講一個《初等數論》的短課。中國科學技術大學從1977年起就在本科生一年級第一學期開設周三學時的《初等數論》必修課，一直堅持至今。2000年筆者來清華之後，也在清華數學科學系新生第一學期開設周二學時的《初等數論》必修課。

新生入校學初等數論是基于三點考慮。

• （1）大學數學一上來就是微積分和線性代數課，不僅份量重，而且與中學數學味道也很不一樣。不少數學很好的中學生被這當頭兩棒打昏，由喜歡數學變成害怕數學。初等數論的不少内容是中小學就接觸過的（質數，因子分解，輾轉相除求最大公約數，帶餘除法……），這個課對新生有親近感。所以是聯系中學和大學數學的一個紐帶，保持他們對數學的興趣。

• （2）初等數論和線性代數是下一步學習抽象代數的必要課程。初等數論中的同餘類環是有限交換群和交換環的最基本例子，數論中的原根與指數就是循環群的生成元和群中元素的階。同餘類本身可引伸出群對子群的陪集分解，以及商群和商環的思想。即使不學這些，在講抽象代數時也要補充這些内容。

• （3）由于數字計算機和數字通信的發展，離散性數學（包括組合數學，初等數論，有限域等）在數學研究和應用中的地位增強。現在許多數學系有信息數學專業，初等數論是必不可少的。

由于上述理由，我覺得現在不少學校到大三之後再開設數論選修課，意思就不大了。因為初等數論都可以給中學生講，大三學生再聽初等數論，會感到拿他們當小孩子耍。初等數論是研究整數性質和方程整數解的學問。公元前三世紀歐幾裡德證明了算術基本定理（正整數唯一分解為質數乘積）。歐拉和高斯研究費馬提出的一系列問題，在二百年前建立了系統理論（整除性和同餘性），其中有許多好的數學思想和有趣的故事。初等數論有許多問題易懂而做起來很困難。不要讓學生做太難的習題，注重講系統的方法，并展示這些方法可以解決什麼問題，同時說明為解決另一些數學問題還需要進一步發展數學，即近世代數。師生一起共同欣賞和享受（enjoy）當年歐拉和高斯是如何做數學的，應當是雙方都愉快的事情。最後，可講述初等數論在信息安全方面的應用（大數分解的RSA公鑰體制和離散對數體制，用于保密、數字簽名與認證、密鑰分配和共享等）。這部分内容常引起學生極大的興趣，使一些信息專業的學生來聽課。初等數論也是鼓勵學生個性發展的很合适的課。不少學生在數論方面有很好的素質，他們常給出習題的一些新解法，學生之間不同想法還可以讨論，這使得同學和我都有成就感。

第二，談談近世代數的講法。關鍵有兩點：

• 一是要讓學生心中有足夠多的例子，學生能通過這些例子直觀地體會抽象定理的意義和價值，然後能把握和應用它。

• 二是要教給這門課本質性的東西。比如群和環中的同态方法，群在集合上的作用等。這幾年在碩士入學口試中，問到“最小非交換群是什麼？最小非循環的單群是什麼？”都不能脫口說出。交換環上一般的中國剩餘定理可以背出來，但是問到對于同餘類環這個定理是什麼意思，居然不知道，也就是不清楚這個定理為什麼是“中國的”。這樣的學生是不及格的。又如，我們依次問“正立方體的自同構群有多少元素？如何把這些自同構具體表示出來，這個群的結構如何？”有的同學常常雜亂無章地拼湊，不會用代數的方法。再如“有限域到的映射

抽象代數一定要講例子，講曆史起源和Motivation，随時講一些應用，例如高斯為解決

清華大學數學科學系為大二和大三每學期都開設16學時的“專題課”（1學分）。每個專題課15人左右，由教授講授一些具體題目。兩年下來，學生可以接觸四位教授，課上師生相互讨論，學生要自己做問題和查資料。教授很願意上這類課，因為學時少時間安排比較靈活。具體來說：在學生學了一學期線性代數之後，可講專題課“線性糾錯碼”，讓學生體會用有限域上的矩陣和線性變換可設計有糾錯性能良好的糾錯碼。在學了近世代數之後，又可講循環碼和量子碼。現在清華大學已把這種課推廣到全校範圍，這個學期講的《初等數論與信息安全》（16學時），選課的一年級學生來自八個不同的系。有一位同學制作了“電子商務信息安全協議”電子課件，使其他同學和筆者都受益匪淺。

最後談一個更深層的問題，就是我們為非數學專業學生所教的數學，如何使他們在各技術領域中發揮作用。在這方面，數學老師當然有責任改進教學方法，在内容上更貼近于應用方面，尤其是要使學生感受到數學的重要。學生在今後工作時，遇到數學不要因為害怕而繞過去，而是有興趣和膽量弄明白這些技術文獻中所用到的數學。我認為這就達到了最基本的目的，就是成功的。至于到底給他們講了多少知識，甚至于有多少又都忘掉了，都不是最重要的。重要的是将來再遇到它時，還願意和能夠把它再撿起來。

現在各專業都想開數學課是好事情。但是要造就新一代年輕人，使他們在不同領域中發揮數學的威力，主導方面不在數學教師本身。二十年前中國建立計算機系的時候，由數學、通信、計算機的老師分别開設這三方面的課，計算機系就建起來。到現在，這種模式已很陳舊了。在先進國家中，初等數論和近世代數已成為通信和計算機工程師的基本語言。國外大學關于通信和計算機科學的教科書中，有限域是基本數學語言。如果專業課程的數學含金量很低，研究生論文本身也沒有數學，在将來工作中也不涉及數學，那麼，數學老師講再多的數學有什麼用？物理和力學等專業的學生不會提出數學有什麼用的問題，因為物理和力學課中有大量數學。因此，我們要培養交叉複合型的年輕人才，根本上是依靠于技術領域的研究和教學中具有很高的科學含金量，這也許是提高我國技術整體水平的關鍵。即使數學研究本身，幾何與代數教育的不充分，也在影響着中國數學研究的整體水平。

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