面積為60的長方形，長和寬均為整數，則長和寬可能是多少？

已知面積反推長和寬，且長和寬均為整數，我們立刻能夠想到可以對面積進行因數對分解[1]：

60=60×1=30×2=20×3=15×4=12×5=10×6；

答：這個長方形可能的長和寬有（60,1）（30,2）（20,3）（15,4）（12,5）（10,6）.

【鋪墊2】

面積為600的長方形，長和寬均為整數，則長和寬可能是多少？

同樣是已知面積反推長和寬，且長和寬均為整數，所以我們仍然可以用鋪墊1中的因數對分解法；

但由于面積600分解出的因數對較多，僅僅依靠因數對枚舉費時[2]且缺少驗證手段[3]，所以可以考慮先對600進行質因數分解[4]：

600=2^3×3×5^2；

有了标準形式，我們再使用因數個數定理[5]：

d(600)=(3 1)×(1 1)×(2 1)=24；[6]

所以600有24個因數，理論上存在12個因數對，我們可以在“600=2^3×3×5^2”的輔助下嘗試枚舉[7]——

600=600×1=300×2=200×3=150×4=120×5=100×6=75×8=60×10=50×12=40×15=30×20=25×24；

我們清點一下以上因數對，發現不多不少剛好是12對，于是自信滿滿地寫下答語——

答：這個長方形可能的長和寬有（600,1）（300,2）（200,3）（150,4）（120,5）（100,6）（75,8）（60,10）（50,12）（40,15）（30,20）（25,24）共12組.

【正題】

鋪墊到此結束，接下來我們回歸正題——

面積為6465.95的長方形，長和寬均為一位小數，則長和寬可能是多少？

現在我們明白了——數論是解析整數的學問，而上題卻出現了小數，所以讓我們很難想到對其進行質因數分解；

那如何才能将鋪墊題中的知識運用在這道題中呢？

我們可以将有小數的題進行擴倍改造：

一個長方形的長擴為原來的10倍，寬也擴為原來的10倍，那麼面積應該擴為原來的100倍[8]；

于是我們可以将上題等價轉化為——

面積為646595的長方形，長和寬均為整數，則長和寬可能是多少？

646595是一個相當大的數，我們肯定不願意一上來就對它進行因數對分解，而是應該“遇事不決質因分解”：

注意到646595末尾為5，所以646595=5×129319；

對129319分别除以2、3、5、7、11、13均不能整除[9]，而129319÷17=7607；

對7607分别除以2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83均不能整除，而7607除以89商85餘42，第一次出現商小于除數，那麼我們可以判定7607為質數[10]；

經過漫長的計算，我終于得到646595分解質因數的标準形式——

646595=5×17×7607；

接着我們計算646595的因數個數——

d(646595)=(1 1)×(1 1)×(1 1)=8；

所以646595有8個因數，理論上存在4個因數對，我們可以在“646595=5×17×7607”的輔助下嘗試枚舉——

646595=646595×1=129319×5=38035×17=7607×85；

我們清點一下以上因數對，發現不多不少剛好是4對，于是自信滿滿地寫下答語——

且慢！别忘了我們的正題——

面積為6465.95的長方形，長和寬均為一位小數，則長和寬可能是多少？

既然我們是長和寬都擴了10倍來做的題，得到以上四組長和寬之後，隻需要将它們全都除以10，就可以得到正題的答案——答：這個長方形可能的長和寬有（64659.5,0.1）（12931.9,0.5）（3803.5,1.7）（760.7,8.5）共4組.參考

1. ^任何非零自然數都可以寫出有限對因數相乘的形式，例如24=1×24=2×12=3×8=4×6.
2. ^因數對枚舉（N=a×b）通常是将N的其中一個因數b從1開始依次枚舉，我們将可能的因數b設為b1,b2,b3,···，當bn為兩位數時，b(n)與b(n 1)的差距會很大，越到後期，越要枚舉更多次才能找到下一個因數，所以僅僅依靠因數對枚舉來找出較大自然數N的所有因數對是相當費時的.
3. ^當枚舉的次數較多時，我們需要一個檢驗的辦法，比方說通過某種算法得出某數有88個因數，由于因數兩兩成對，那麼長和寬的組合有44組，接下來再去枚舉，心裡就有底了.（此處暫時忽略因數個數為奇數的情況，事實上，隻有平方數的因數個數才是奇數，那時會出現正方形，我們暫不讨論）
4. ^非零自然數N可寫成從小到大排列的若幹質數的若幹次方依次相乘的形式，且該形式稱為分解質因數的标準形式，标準形式是唯一的，例如24分解質因數的标準形式是：24=2^3×3.
5. ^非零自然數N分解質因數得到唯一的标準形式後，根據每種質因數的次數可求出N的因數個數，具體算法是“指數加一再連乘”，例如24=2^3×3^1，24有(3 1)×(1 1)=8個因數，也可寫為d(24)=8.
6. ^600的質因數有2、3、5三種，它們的指數分别是3、1、2，特此說明.
7. ^分解質因數的标準形式告訴我們一個非零自然數有哪幾種“零件”（質因數），以及每種“零件”的個數（指數），将不同種類的零件的不同個數通過乘法“組裝”在一起的過程就是制造其所有因數的過程.
8. ^舉例：面積為0.48的長方形長是0.8，寬是0.6，若長、寬均變為原來的10倍也就是長為8、寬為6，那麼面積就是8×6=48，此時48是原面積0.48的100倍.
9. ^使用整除特征可以快速判斷，具體做法略.
10. ^判定非零自然數N為質數的方法是：用比N小的質數從小到大依次去除N，直到第一次出現商小于除數都未曾整除，則判定N為質數.（具體原理略）

,

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!

查看全部