楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年發現這一規律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。楊輝三角是中國古代數學的傑出研究成果之一，它把二項式系數圖形化，把組合數内在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來，是一種離散型的數與形的結合 。

我們先看一下楊輝三角形的打印結果：

楊輝三角形有很多性質：

1). 每行端點與結尾的數為1.

2). 每個數等于它上方兩數之和。

3). 每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大。

4). 第n行的數字有n項。

5). 前n行共[(1 n)n]/2 個數。

6).第n行的m個數可表示為 C(n-1，m-1)，即為從n-1個不同元素中取m-1個元素的組合數。

7). 第n行的第m個數和第n-m 1個數相等 ，為組合數性質之一。

8). 每個數字等于上一行的左右兩個數字之和。可用此性質寫出整個楊輝三角。即第n 1行的第i個數等于第n行的第i-1個數和第i個數之和，這也是組合數的性質之一。即 C(n 1,i)=C(n,i) C(n,i-1)。

9). (a b)^n^的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n 1)行中的每一項。

10). 将第2n 1行第1個數，跟第2n 2行第3個數、第2n 3行第5個數……連成一線，這些數的和是第4n 1個斐波那契數；将第2n行第2個數(n>1)，跟第2n-1行第4個數、第2n-2行第6個數……這些數之和是第4n-2個斐波那契數。

11). 将第n行的數字分别乘以10^（m-1）^，其中m為該數所在的列，再将各項相加的和為11^（n-1）^。 11^0^=1，

11^1^=1 * 10^0^ 1 * 10^1^=11，

11^2^=1×10^0^ 2x10^1^^ 1x10^2^=121，

11^3^=1x10^0^ 3×10^1^ 3x10^2^ 1x10^3^=1331，

11^4^=1x10^0^ 4x10^1^10^2^ 4x10^3 1x10^4=14641，

11^5^=1x10^0^ 5x10^1^ 10x10^2^ 10x10^3^ 5x10^4^ 1×10^5^=161051。

12). 第n行數字的和為2^（n-1）^。1=2^（1-1）^，1 1=2^（2-1）^，1 2 1=2^（3-1）^，1 3 3 1=2^（4-1）^，1 4 6 4 1=2^（5-1）^，1 5 10 10 5 1=2^（6-1）^。

13). 斜線上數字的和等于其向左（從左上方到右下方的斜線）或向右拐彎（從右上方到左下方的斜線），拐角上的數字。1 1=2，1 1 1=3，1 1 1 1=4，1 2=3，1 2 3=6，1 2 3 4=10，1 3=4，1 3 6=10，1 4=5。

14). 将各行數字左對齊，其右上到左下對角線數字的和等于斐波那契數列的數字。1，1，1 1=2，2 1=3，1 3 1=5，3 4 1=8，1 6 5 1=13，4 10 6 1=21，1 10 15 7 1=34，5 20 21 8 1=55。

實現楊輝三角形的打印也有很多方式，今天我為大家介紹兩種方式：

• 使用數組的方式：這也是網上比較常見的方式。需要使用數組，所以效率較低。
• 不使用數組的方式：不需要使用數組，所以效率較高。

根據上面的性質，如果我們要打印一個11行的楊輝三角形，我們可以将整個排列看做是一個n行，0-n列的矩陣，再結合上面的性質8，我們将這個矩陣用一個二維數組來實現，如下圖：

2.2.1 根據示意圖，我們先定義一個二維數組：

int n = 11;//要幾行的數據 int[][] values = new int[n][];//定義n行，但暫時每行的列數先不定義

2.2.2 生成二維數組，根據楊輝三角形性質，n行的數字個數為n：

for(int i = 0;i < values.length ; i ){ values[i] = new int[i 1];//行0有1列，行1有2列,....,行n有n 1列 }

2.2.3 填充二維數組：

for(int i = 0;i < values.length ; i ){ values[i] = new int[i 1];//行0有1列，行1有2列,....,行n有n 1列 for(int j = 0 ; j < values[i].length ; j ){ //根據性質1，每行的首尾都為：1 if(j == 0 || j == value[i].lenght - 1){ values[i][j] = 1; }else if(i > 1){//根據性質8，除首尾外的其它數字 = 上方數 上方左側的數 values[i][j] = values[i - 1][j] values[i - 1][j - 1]; } } }

2.2.4 完整代碼：

public class YangHui { public static void main(String[] args) { yangHui(8); } private static void yangHui3(int n) { int[][] values = new int[n][];//定義n行，但暫時每行的列數先不定義 for(int i = 0;i < values.length ; i ){ values[i] = new int[i 1];//行0有1列，行1有2列,....,行n有n 1列 for(int j = 0 ; j < values[i].length ; j ){ //根據性質1，每行的首尾都為：1 if(j == 0 || j == values[i].length - 1){ values[i][j] = 1; }else if(i > 1){//根據性質8，除首尾外的其它數字 = 上方數 上方左側的數 values[i][j] = values[i - 1][j] values[i - 1][j - 1]; } } } print(values); } private static void print(int[][] values) { for(int i = 0; i < values.length; i ) { for(int j = 0; j < values[i].length; j ) { System.out.printf("%-4d", values[i][j]); } System.out.println(); } } }

數組的方式比較好理解，但需要創建二維數組，效率較低，接下來我們看一下不需要數組的寫法。

根據性質6，第n行的m個數可表示為 C(n-1，m-1)，即為從n-1個不同元素中取m-1個元素的組合數。

我們将其表示為C(i , j)的組合數，那麼就有以下算法：

1、例如：i=3、j=2的位置上，值為C(3,2)，即(3*2)/(1*2)=3/1 * 2/2 = 3 2、例如：i=5、j=3的位置上，值為C(5,3)，即(5*4*3)/(1*2*3)= 5/1 * 4/2 * 3/3 = 5 * 2 * 1 = 10 3、例如：i=7、j=4的位置上，值為C(7,4)，即(7*6*5*4)/(1*2*3*4) = 7/1 * 6/2 * 5/3 * 4/4 = 35

根據上述算法，我們就可以很方便的寫出以下代碼：

private static void yangHui2(int n) { for(int i = 0; i < n; i ) {//行 for(int j = 0; j <= i; j ) {//列 //計算每列的值 int value = 1; for(int k = 0; k < j; k ) { value = value * (i-k) / (k 1); } System.out.printf("%-4d", value); } System.out.println(); } }

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