“任意點”與“存在一點”的代數理解（2020年深圳第23題）

當我們遇到0·x=0這樣的等式時，第一個想到的是小學就學過的一句話“零乘任何數等于零”，然後用初中方程的理解方式，可理解為“x可取任意實數”，我們将方程進化至函數圖象，則可理解為圖象經過定點或不經過定點等等。

無論是哪一種情形，都需要對文字語言進行解讀，用數學符号來描述，在解壓軸題過程中，題目叙述中的每個字都需要認真讀，隻要審題用心，在尋找解題方法時遇到的阻礙就會少很多。

題目

如圖1，抛物線y=ax² bx 3(a≠0)與x軸的交點A(-3，0)和B(1，0)，與y軸交于點C，頂點為D.

(1)求該抛物線的解析式；

(2)連接AD，DC，CB，将△OBC沿x軸以每秒1個單位長度的速度向左平移，得到△O'B'C'，點O、B、C的對應點分别為O'、B'、C'，設平移時間為t秒，當點O'與點A重合時停止移動，記△O'B'C'與四邊形AOCD重合部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系；

(3)如圖2，過該抛物線上任意一點M(m,n)向直線l:y=9/2作垂線，垂足為E，試問在抛物線的對稱軸上是否存在一點F，使得ME-MF=1/4？若存在，請求出F的坐标；若不存在，請說明理由.

解析：

(1)将點A和B坐标代入解析式，解一個二元一次方程組即可，結果為y=-x²-2x 3，或者利用交點式，設y=a(x 3)(x-1)，比較y=ax² bx 3，得-3a=3，于是求出a=-1，b=-2；

(2)重合部分面積，先要弄清楚重合部分是什麼形狀，再來看怎麼求面積。

△O'B'C'從出發開始，就與四邊形AOCD有部分重合，漸漸至完全沒入，然後慢慢從四邊形中出來，直到停止，從這個運動過程中，我們需要分段計算。

前期準備工作：平移過程中，O'(-t,0)，B'(1-t,0)，C'(-t,3)，直線AD的解析式可求，為y=2x 6，直線B'C'可表示出來，為y=-3x 3-3t；

第一個階段，從開始到完全沒入四邊形

此時0≤t<1，如下圖：

我們可發現，圖中△OB'F∽△O'B'C'，而後者的面積是知道的，即△OBC的面積，是3/2，不妨用相似比來求面積，OB':O'B'=(1-t):1，相似三角形面積的比等于相似比的平方，于是可表示出△OB'F的面積為3/2(1-t)²，所以求出此時的S=3/2-3/2(1-t)²=-3/2t² 3t；

第二個階段，完全沒入四邊形内

此時1≤t≤3/2，如下圖：

當點C'到達邊AD時，将y=3代入直線AD的解析式中，求得x=-3/2，即當t=3/2時抵達，此時重合部分面積S=3/2；

第三個階段，部分移出四邊形

随着t的增加，三角形部分移出四邊形，直到停止，仍然有一部分在四邊形内部，此時3/2<t≤3，如下圖：

此時重合部分是一個四邊形，新出現的點G和H坐标可表示出來，将x=-t代入AD的解析式得到G(-t,-2t 6)，聯立直線AD和直線B'C'得到H點橫坐标為-3/5t-3/5，它可用來表示△C'GH的高，我們可得到C'G=2t-3，△C'GH的高為2t/5-3/5，現在我們可以來表示重合部分面積了，S=3/2-1/2(2t-3)(2t/5-3/5)，整理後為S=-2t²/5 6t/5 3/5；

(3)點F在對稱軸上，因此它的橫坐标是-1，可設F(-1,f)，點M(m,n)中，n=-m²-2m 3，我們先表示出ME和MF

ME=9/2-n，MF=ME-1/4=17/4-n

由兩點距離公式，我們有MF²=(m 1)² (n-f)²

推導如下：

這顯然沒法求解，兩個參數m和f，又是高次多項式，此時我們需要再讀一遍題目中的要求，對于任意一點M，存在一點F，即對于上式中的任意m值，存在一個f值滿足它。

再聯想到0·x=0相關的知識，我們整理上式，使其成為一個按m降幂排列的多項式，如下：

在上式中，我們可觀察二次項系數，一次項系數，常數項中，均含4f-15，即當f=15/4時，無論m取何值，恒成立，所以存在點F(-1，15/4)；

而另一個比較取巧的方法就是，既然對于任意點M，存在一點F，不妨将點M取抛物線上的特殊點，而哪個點最特殊呢？頂點。

當點M取(-1,4)之後，我們也能很快求出F(-1,15/4)，隻是這種方法需要再驗證一下任意點M時，ME-MF=1/4；

解題反思

學生在解這道題時，可能遇到的最大困惑在于，面對一個含兩個參數，又無法求解的多項式時，會有一點點懵，顯然這類多項式并不是用來求解的，而是用于觀察的，如何觀察？就要看怎麼理解任意點與存在一點。

而使用特殊值法，也是解決此類問題的捷徑之一，既然題目中說了任意點，那當然也包括特殊點，利用特殊值求出結果，反過來再進行驗證，是可行的。

當然，利用高中圓錐曲線焦點與準線求解也很容易。

函數問題的解決，原本也是數形結合的思想，任意點與任意值，存在一點與存在一個解，在本質上是相通的，在平時的教學中，并未涉及這麼深，隻能“點到即止”，而成功解出此題的學生，顯然不會滿足于課堂教學那點傳授，需要更深入的理解，而壓軸題，對平時愛鑽研的學生，是福音。

雪浪紙

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