求做直線運動物體的速度和位移，用什麼公式？Vt=v0 at,x=v0t 1/2at2.同樣的，求做曲線運動物體的速度和位移，可以怎麼做呢？先進行分解，得到最熟悉的直線運動：“正交分解、化曲為直”：變曲線形式的合運動為兩個直線形式的分運動；用平行四邊形定則，再把兩個分運動中待求的矢量進行合成，就可以得到答案。

水平抛出一支粉筆，運動軌迹是一條抛物線，做勻變速曲線運動。已知粉筆水平初速度是5m/s，豎直方向做自由落體運動，求3秒末粉筆的速度是多少？

第一步，“化曲為直”：粉筆的合運動是勻變速曲線運動。根據題意，可以分解為水平方向的勻速直線運動，和豎直方向的勻加速直線運動。

第二步，“求分物理量”：水平分速度v水=5m/s；豎直分速度v豎=gt=10*3=30m/s；第三步，“分量合成”：利用平四法則，合速度的大小是（52 302）1/2，方向是tan

θ=1/6.

同學們喜不喜歡柯南？他是我最喜歡的動漫人物之一，尤其是臨近考試時，找幅柯南畫像挂在桌前，心裡面很安慰。不隻因為“挂科難”，還想擁和柯南一樣睿智。今天我們跟随柯南走進現場，當一回偵探。請問各位偵探，當車速不低于多少時，能夠飛躍到對面大樓的樓頂呢？

還原一下現場：樓距60米，樓高差20米，駕車從A位置飛到B位置，最低車速為多少？汽車實際的運動軌迹是不是一條抛物線呢？對，它在做勻變速曲線運動。那我們可以把這個運動“化曲為直”：分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。由于分運動之間具有等時性，所以汽車在水平和豎直方向經曆的時間應該相等。水平方向的時間是60/v，豎直方向經曆的時間是△H=1/2gt2，所以t=(2*20/10)1/2=2s；由此可得，v=60/2=30m/s=108km/h.好，我們看看大家的推理是否正确？

果然沒錯！看來完美的推理是要以缜密的科學為基礎的。從這點看，柯南一定不是小學生了，因為他學過“運動的合成與分解。”

三類常見“運動的合成與分解”問題。

“小船過河”問題。一條河岸，其中有水。水速v2，從左向右流動。船速v1，為船在靜水中的速度。

A、均恒水速問題

第一種情況，是船速>水速。這個船的性能不能太差了，至少比水流的速度大。在此前提下，有兩個問題。楚霸王兵退烏江，看到有一樵夫，他是想用最短的位移還是時間過河？ 渡河時間如何最短？你作為樵夫應該怎麼做？船速大小已經固定，你能掌握的是誰？隻有船頭的指向。船在流水當中，要被水往下遊沖（被時代的潮流所裹挾，随波逐遊，這個速度是漂流不是過河）；船本身還有一個速度。水流速度是橫向的，并不影響渡河（獨立性），隻有誰能影響渡河時間？船速。故當船頭正對對岸（船頭是直的，但是身體是誠實的，像極了過年收紅包的樣子），全力以赴往對岸開所需時間最短。（能量角度分析：能量火力全開都用于速度大小）在這種情況下，船實際發生的運動應該是兩個速度的合成。指向船的下遊o’點。船頭正對對岸用時最短，由于分運動與合運動具有等時性，在這個方向的時間和總時間相等，所以渡河時間就是t=d/v1，即岸寬比船速；渡河位移等于d/sinα（α為合速度與河岸的夾角）。

考試題喜歡問：“渡河時間最短，保持船頭正對河岸，行至河中央突然洪水來了，船最終到達對岸，問時間變還是不變？”第一感覺肯定是要變，實際上變不變？不變！為什麼？岸寬不變，船速沒變，用時t=d/v1就不變。哪個變了？到達下遊的位置。抵達到更下遊的地方去了。

渡河位移如何最短？乘客不管你快不快，隻管你貴不貴，反正你劃船我也不累。。顯然船頭正對對岸的模型，走過的距離不是最短，是一條斜線。怎麼就最短了？當船沿着出發點o以河岸的垂線方式行駛，是不是就最短了？實際上，這條船，随波逐流的速度v2，要走垂線，它的合速度一定是沿着o到o’點這個方向的，此時船頭的方向還能不能指向河對岸了？不能了。根據矢量相加的平行四邊形法則，知道：船頭應該指向上遊，（能量角度分析：部分能量用于修正航向）但指向上遊并非随意，有個船頭與河岸所成夾角的問題。角θ等于多少？其實就是這個角θ對吧？ cosθ=V2/v1，此時，渡河的最短時間為t=d/v1sinθ.

第二種情況，船速<水速。船撞冰山漏水了。在這個背景下：

渡河時間如何最短？仍然船頭正對對岸。

渡河位移如何最短？水速沿水平方向，想讓合速度垂直于對岸剛才是可以的，因為船速大于水速，斜邊大于直角邊。船速小于水速，還能實現嗎？歐幾裡得集合實現不了，因為内角和溢出，闵氏幾何才能做得到。在這種情況下，最小距離不再是河岸寬度d，船會向下遊飄移。這個時候使用的方法是矢量三角形法——輔助圓法。以水速v2的末端為圓心，以船速v1的大小為半徑做圓（一紮做圓，“人體圓規”），過o點做圓的切線。這就是船速v1，這就是合速度v合。而這條線段所代表的長度就是最短的渡河距離。即合速度與圓相切時，渡河距離最短。此時船頭仍然指向上遊，它和河岸的夾角θ為cosθ=v1/v2，即船速比水速。兩種情況都是餘弦，但含義不同。做題技巧：不管水速大還是船速大，隻要問到當船頭與河岸夾角的餘弦值為多少時，所需距離最短？用小的速度除以大的速度，因為餘弦的值肯定小于等于1，這是一個數學技巧。而此時的最短位移為Smin=d/sinθ.

1. 非均恒水速問題：水中央速度最大（到中流擊水，浪遏飛舟：英雄氣概）

友誼的小船渡過河，就該靠岸了—— “小船靠岸”模型。不光是小船，很多物體的運動都可以概括,也叫作“牽連問題”。底下是一條河，上面是一條小船。通過光滑定滑輪，繩子的一頭拴在船上，另一頭速度是v0，拉着這個小船靠岸，小船将做怎樣的運動？勻速運動？加速運動？減速運動？

“小船靠岸”有兩個概念：一個是“細繩模型”：理想的繩和杆是剛性的，不可伸長：拉繩子的時候，相同時間，繩兩端增加和減少的長度是相同的。因此在繩子兩端，沿着繩子的方向，速度大小是相等的。第二個概念：物體的實際速度一定是合速度。（分解兩個分速度方向應取沿繩方向——平動、垂直于繩的方向——轉動）。如果繩子一端以v0做勻速運動，小船将做怎樣的運動？好多同學想這樣做，不是說繩子中的速度相等嗎？這裡的速度也是v0,，把這個速度正交分解，求的是水平分速度v1.顯然，v1與v0存在三角關系v1=v0cosθ，靠岸過程，θ增大，cosθ減小，即v1減小。這就是最典型的錯誤分解方法。錯在哪兒？錯在沒有深刻認識合運動就是實際發生的運動，是肉眼可見實實在在的運動。（否則成了飛船）v1是不是小船實際發生的運動？是，所以它應該充當什麼運動？合運動。這裡把它當做什麼了？分運動了，所以就不對！豎直方向的v2可不可能存在？小船能飛起來嗎？不能。孤兒它是不存在的。那怎麼做呢？船實際發生的運動是合運動，你要分解的是它。題目給了v0了，所以這是一個分解方向（收風筝線）；另外垂直于繩是不是還可以分解出一個速度：圓周運動的線速度？（線在旋轉，不讓船脫離水面）由此得出：v=v1/cosθ=vo/cosθ：小船的速度在變大，是勻加速嗎？是cosθ的非線性關系。（實際上，快靠岸的時候不僅不拉繩，還要踹兩腳/船頭會墊舊的橡膠輪胎），跟剛才的結論正好相反。那這道題最重要的一點，就是你要清楚：你分解的是誰？是合運動，而不是分運動。人生可沒有橡皮擦。

拓展：有一個定滑輪，定滑輪下方吊着一個物體。是一個正往上升的礦井。這根繩子通過定滑輪連接一輛汽車。汽車勻速行駛，自然要把礦井拉上來。礦井受重力作用，受繩子拉力T的作用，這個拉力T和重力G做比較而言，是比重力大？還是小？還是相等？拿到這個問題，怎麼入手？咱們學過超重和失重。要分析受力，先看運動：如果加速上升，T>G；如果減速上升，T<G；勻速上升的話，T=G。所以關鍵點在哪兒？就是礦井的速度如何變化？我們先分析速度：小車實際的速度是v0，為合速度，把它正交分解為沿繩方向的速度v1和垂直于繩方向的速度v2，設與地面的夾角為θ.可得v1=v0*cosθ，由于一根繩子上速度總是相等的，所以v=v0*cosθ.小車向右行駛的過程中θ在減小，說明物體的速度在增大，也就是在做加速上升，具有向上的加速度，具有向上的合外力；合外力等于誰？T-mg，顯然，有：T>mg。

“貴人出門多風雨”，小船渡河、靠岸後就刮起風下起雨了，這就是風（雨）速模型。以例題的形式來分析：一輛車以16m/s的速度向東行駛，雨點的速度是12m/s，方向豎直向下.問：車上的人看到雨點的運動方向是朝哪兒？下雨天坐汽車看到過雨滴的飛行軌迹沒有？那個軌迹長啥樣？應該是斜的吧？如果你看到雨滴是沿着車窗豎直往下落的，隻有一種可能：汽車現在靜止不動。但凡車動，雨都是斜的。車速向前，雨滴速度向下，你在車廂中看到雨滴是怎麼飄的？是這樣向右下方飄的？還是向左下方飄的。哎，有一些同學認為是右下方，原因是什麼？哦，根據運動的合成。但結果恰恰不是這樣。為什麼？參考系的問題。你在車廂中看到雨滴怎麼飄？參考系是誰？是車廂。雨滴相對于車有一個向左的速度，就是車的速度16m/s，此時雨滴還具有向下的速度12m/s。所以關鍵在于參考系的确立：以大地作為參考系，你在水平運動，雨滴并不動；但以車為參考系，車是不動的，雨滴就會得到一個水平方向的速度，就像在火車裡看電線杆一樣，是不是原本不動的電線杆，以火車為參考系之後就往後退了？二者合成得到的合速度就是25m/s，方向朝左下方。這就是這個軌迹的成因。

同樣的，風速問題。什麼是風？就是空氣的流動。風速是人感覺到的，在這個背景下，有兩種情況：一種是人不動。人站着不動，感到風向你吹來，就是風實際的速度。但有一種情況是人動：假如人是沿着這個方向動的，那麼刮風還是刮的這個方向的風，人感覺到風是朝哪兒刮的？人是沿着正東方向運動的，風是沿着正南方向刮的，你感覺刮得是什麼風呢？（這個小明姓黃，曉明說：“不要你覺得隻要我覺得”，這個問題需要《明學》，因為我是參考系）東風/南風還是北風，還麻将呢！反正不是最炫民族風！是不是沿着這一方向？（東南方向）和車一樣：人往東走，以人為參考系，相對人而言，風是向西吹的，再與向南的速度合成，總的速度是向哪兒吹的？西南方向。你會感覺到，實際風是朝這個方向刮的。人感覺到的是合運動。以人為參考系的一種合運動：馬克思主義隻有中國化才能形成中國特色社會主義、（風向指風來的方向）

• 思路

找中介參考系問題：絕對速度=相對速度 牽連速度

再結合矢量的三角形合成的幾種情況求解。

• “小船渡河問題”：中介參考系——“水”

絕對速度：小船與河岸之間的速度；

相對速度：小船與水之間的速度；

牽連速度：水與河岸之間的速度。

• “風速問題”： 中介參考系——“人”

絕對速度：風與地面之間的速度；

相對速度：風與人之間的速度；

牽連速度：人與地面之間的速度。

曲線運動“曲直談”：

• 一般的曲線運動的解決方法：“化曲為直，正交分解”；
• 速度可分解為切向速度vt和徑（法）向速度vn，
• 加速度可分解為徑、切向加速度an=,at=
• “小船靠岸”：速度可分解為沿繩方向的平動徑向速度vn，以及垂直于繩方向的轉動切向速度vt；加速度亦如此。

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