求比值的題100道有答案過程-tft每日頭條

求比值的題100道有答案過程

教育更新时间:2024-07-03 20:28:11

一道高中題-求線段之比值

在三角形ABC中， P是邊AB的點，且AP/PB=1:2, N是AC上的點，且CN/NA=1:4, AM是BC的中線，連接PN與AM交于點G，求AG/GM的值。

求比值的題100道有答案過程（一道高中題-求線段之比值）1

解：此題要用到三角形面積的一個引理S=(absinC)/2

如圖設∠BAM=α，∠MAC=β

設三角形ABC的面積為S, 三角形APG的面積為x, 三角形AGN的面積為y,

求比值的題100道有答案過程（一道高中題-求線段之比值）2

因為M是中點，所以

三角形ABM的面積=三角形AMC的面積=S/2

因此三角形APG和三角形ABM的面積之比為：

求比值的題100道有答案過程（一道高中題-求線段之比值）3

同樣地類比：

求比值的題100道有答案過程（一道高中題-求線段之比值）4

将兩個式子組合在一起可以求得x和y關系式：

3x=5y/4

因此三角形APN的面積=x y=17x/5

三角形APN和三角形ABC的面積之比

求比值的題100道有答案過程（一道高中題-求線段之比值）5

由此得出

求比值的題100道有答案過程（一道高中題-求線段之比值）6

将此帶入前面的等式中得出

求比值的題100道有答案過程（一道高中題-求線段之比值）7

AG/AM=8/17

這樣可以求出AG/GM=8/9

實際上這道題如果理解“同頂角的三角形面積之比等于邊長之積的比值”這個定理，初中數學也可以解這道題。

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