接上篇：闵氏幾何是什麼？它如何統一時空并極大簡化了狹義相對論？（上）》

尺縮效應是狹義相對論裡比較有趣的一個效應，它簡單說來就是一句話：運動的物體長度會收縮，也就是動尺收縮。但是這樣描述會讓許多初學者心生疑惑，你動尺收縮是真的收縮了還是隻是看起來收縮了？這是一種觀測效應還是一種由于光速有限造成的傳播誤差？你相對尺子沒動，覺得尺子沒縮，我覺得縮了，那麼它到底縮了沒有（這是個很常見的錯誤的問題）？

其實，用非幾何語言初學相對論的人不可避免地會遇到很多類似這樣的問題。因為大家在牛頓的那一套環境裡浸潤久了，想一下子把思維切換過來很麻煩。而且學相對論的人最容易載到“相對”兩個字裡來，該相對的東西不相對，不該相對的東西又跑去相對，最後把自己繞進去了。但是用幾何語言卻沒有這樣的煩惱，因為有很多物理量在3維的時候是相對的，在4維裡就都是絕對的了。而且，幾何圖形清晰直白，會大大降低這類問題的難度和迷惑性。

好，現在我們來看看怎麼用幾何語言處理尺縮效應。

一個粒子的世界線是一條線，而一把尺子是由許多粒子組成的，所以一把尺子在時空圖裡留下的軌迹就應該是一個面，我們稱之為尺子的世界面。我們還是以地面系為基準系，假設尺子相對地面系靜止，那麼尺子每個粒子的世界線都是一條平行于t軸的線，合起來它的世界面應該是一個有一定寬度的面。上一節我們已經學會了如何把運動的慣性系也畫出來，我們再把相對尺子運動的參考系x’-t’（假設為火車系）畫出來，總的時空圖就是這樣：

如上圖所示，陰影部分就是在地面系靜止的尺子的世界面，它跟x軸的交點為a，跟x’軸的交點為b。那麼我們很容易就能知道oa就是尺子在靜止地面系的長度，ob就是尺子在運動的火車系x’-t’的長度。

為什麼呢？你想想oa代表什麼意思？oa就是當地面系的時間為零的時候尺子在空間x軸的投影，那這顯然就是尺子的長度了。那麼，同樣的道理，因為運動的火車系的坐标是x’-t’，ob也是當t’都為0的時候尺子在x’軸的投影，所以ob就是運動的火車系測得的尺子長度。

所以，尺縮效應就變成了比較oa和ob的長度。很顯然，oa和ob的長度肯定不一樣，那麼到底是oa長還是ob長呢？

沒錯，你的眼睛沒有看錯，我就是在問到底是oa長還是ob長？可能這個時候你的腦袋是懵的，明明oab組成了一個直角三角形，ob是斜邊，斜邊肯定比直角邊更長啊，這是初中生都知道的，ob比oa長難道還有什麼疑問麼？

沒錯，擱在歐式幾何裡，斜邊大于直角邊這絕對毫無疑問。但是，我們始終要記住我們處理狹義相對論問題用的是闵氏幾何（否則也不會出現x’-t’這樣看起來不正交的坐标系），那闵氏幾何裡要怎麼樣比較兩條線段的長短呢？

這個時候你可能意識到了：我們在闵氏幾何裡連怎麼定義線段的長度都不知道，更别提比較兩條線段的長短了。那麼，闵氏幾何裡一條線段的長度是怎麼定義，怎麼計算的呢？

在讨論怎麼定義，計算闵氏幾何一條線段的線長之前，許多人可能對為什麼這個問題會是一個問題都心存疑惑：線段的長度不就是用尺子去量一下線段麼，為什麼還需要什麼定義？即便我不用尺子去量，一條線段我在直角坐标系裡把它投影到x和y軸，假設它在x軸和y軸的投影長度分别是Δx和Δy，那麼我就可以利用勾股定理很簡單的算出這條線段的長度L²=Δx² Δy²。

但是，我還是得再強調一次：你能這樣做，是因為你已經假設了你是在歐式幾何裡。隻有在歐式幾何裡，一條線段的長度才可以這樣用勾股定理去計算，但是狹義相對論的幾何背景是闵氏幾何。為了讓大家能更直觀的了解，我們先不談闵氏幾何，我們就來看看球面幾何。

球面幾何顧名思義就是在在一個球面上的幾何。你可以想象在一個籃球的表面，或者地球的表面上有兩個點，那麼，這兩個點之間的距離應該是一段圓弧長，而不再是歐式幾何裡的直線。你想想，在這種情況下，你還能用勾股定理去計算這兩點之間的距離麼？你要硬用勾股定理去計算，那麼算出來的是這兩點之間的直線距離，并非在球面上的圓弧長，這顯然是不對的。就好比你在地球表面計算北京到深圳的距離，你用勾股定理算出來的距離是在北京地底下打一個直線隧道通到深圳的距離，這顯然不是你在地球表面從北京直線開車去深圳的距離。

從這裡我們能直觀地感覺到：在不同的幾何裡，長度的計算方式是不一樣，每一種幾何都有自己度量長度的規則（這就是度規），一旦這種規則确定了，這種幾何也就确定了。其實，這一點我在「線元決定幾何」這一節裡已經說得非常明确了，不光是線長，所有的幾何性質都是由線元決定的，不同的幾何擁有不同的線元，自然就擁有不同的計算線長的方式。

二維歐式幾何的線元是dl²=dx² dy²，二維闵氏幾何的線元是ds²=-dt² dx²。二維歐式幾何裡線段長度的計算公式是這樣的：

那麼，二維闵氏幾何裡線段長度的計算公式自然就是這樣的：

因為闵氏幾何的線元的時間項前面有個負号，所以，為了避免根号裡面的值出現負數從而讓式子無意義，我們套了一個絕對值（它保證所有值都是非負的，比如-5的絕對值為5，記做|-5|=5）的符号。

也就是說，我們在闵氏幾何裡是根據這個式子來計算一條線段的長度的，Δt和Δx分别代表這條線在t軸和x軸的投影。這個式子跟歐式幾何的距離計算公式很類似，唯一的不同還是時間項前面的那個負号。也正因為這個負号，闵氏幾何裡的線長問題才會變得更我們平常想的不一樣。為了讓大家熟悉一下這種新的線長計算方式，我先來舉個簡單的例子。

問題4：大家還記得光子的世界線是一條45°的斜直線把，我們現在随便在光子的世界線裡取A、B兩點，那麼線段OA、OB的長度分别是多少呢？如下圖所示：

我們先來看看OA的長度，因為這條直線是45°，所以A點在x軸和t軸上投影得到的距離就是一樣長的，也就是Δt和Δx的大小是一樣的。但是，闵氏幾何裡線段長度的計算公式是它們兩個相減再開根号，現在這兩個值是相等的，那麼相減的結果不就是0了麼？再開根号結果自然還是0。

也就是說，OA在闵氏幾何裡的長度為0。

你沒有看錯，它的長度就是0。OA你看着有這麼長的一段，但是它在闵氏幾何裡的長度卻是0，這就是那個負号帶來的效果。同樣的，你可以接着去算OB的長度，或者直接算AB的長度，你會發現它的長度一樣全部都是0。

所以，我們有這樣的結論：光子的世界線長度恒為0。這很反直覺吧？我們再來看個例子。

問題5：還是上面的圖，我過B點做一條垂直于t軸的線，然後随便在BC之間取一條點D。那麼OC就是靜止不動的粒子的世界線，OD就是一條勻速直線運動的粒子的世界線，OB是光子的世界線，那麼它們三個的長短怎麼比呢？

乍一看，好像的OB>OD>OC。但是我們剛剛算過了光子世界線OB的長度為0；OC是靜止不動的粒子的世界線，那麼它在空間上的位移Δx就為0，那麼OC的長度就是粒子在時間軸裡走的長度；OD在時間軸上的投影跟OC一樣，但是它的Δx不等于0，那麼它們相減（-Δt² Δx²）之後的數值肯定就變小了，那麼OD是小于OC的。于是，我們得到的結論确實跟之前的感覺截然相反的，三者的長度是OC>OD>OB=0。

所以，當我們在說時空圖了某一條曲線的長度的時候，我們都要意識到我們是用闵氏幾何那把尺子（時間項前面有負号）來度量曲線的長度，這跟我們平常生活裡感受的（歐式幾何度量長度）是不一樣的。一開始大家會覺得這種方式非常不習慣，但是一旦習慣了就會覺得這個非常自然。

好了，這裡我們介紹了闵氏幾何裡線長的定義和計算方法，理論上我們就可以計算任意一條線段的長度了，也能比較兩條線誰長誰短了。我們上一節不就是最後把尺縮效應歸結比較兩條線段oa和ob的線長麼？那現在可以直接比了啊。

我們看到ob在x軸的投影跟oa是一樣長的，但是oa在t軸的投影為0，ob在t軸的投影卻大于零。但是，根據闵氏幾何的線長公式，線長是這個線段在時間軸t和空間軸x投影長度平方相減再開根号。既然兩條線段oa和ob在空間軸x上的投影都一樣，那麼在時間軸t上投影長度越大的，相減之後得到的值就越小，那麼最後的線長就越小。

所以，我們能直接就這樣感覺到，在闵氏幾何下，ob是比oa更短的。而ob代表的是運動參考系下尺子的長度，oa是靜止參考系下尺子的長度，既然ob比oa更短，那麼就是說在運動參考系裡尺子的長度更短，這就是我們常說的尺縮效應。

這裡我們是直接用線長的計算公式算出oa和ob的長度然後再來做比較，雖然算出來了，但是可能不是很直觀。在許多教材和文章裡都會提到另外一種看起來更直觀的比較方式，那就是使用校準曲線，很多人也經常看到這個但是不是很明白，我這裡就一起再講一下。

校準曲線其實是回答了這樣一個問題：闵氏幾何裡，到原點距離相等的點組成的軌迹是什麼？

老規矩，我們先看看歐式幾何的情況。在歐式幾何裡，到原點距離相等（比如說都等于2）的點組成的軌迹是什麼呢？這個我們都知道，這就是一個圓，到定點的距離等于定長的點的集合就是圓，這個點就是圓心，這個定長就是半徑。

在歐式幾何裡，如果一個點（x，y）到原點的距離為2，那麼，根據勾股定理我們就可以很容易寫出下面的關系：x² y²=4。而學過一點解析幾何的人就都知道，這就是圓的坐标方程。

那麼，再回到闵氏幾何，在闵氏幾何裡到原點的距離為2的點組成的軌迹是什麼呢？其實也簡單，我們不是已經有闵氏幾何的距離公式了麼？代入進去就行了，因為是求到原點的距離，所以Δx和Δt就分别是點的坐标x和t，如下圖：

我們把兩邊平方展開就得到了：

大家對比一下，這個x²-t²=4跟我們在歐式幾何裡圓的方程隻有一個符号的差别（因為坐标軸不同，作為縱軸t和y是完全等價的）。這個式子，學過高中數學的同學一眼就能看出來這是一條雙曲線，沒學過或者忘了的可以自己去找一些具體的點描上去（自己找一些x的值，然後去算t的值，最後把（x，t）組成的點畫到坐标系上去，看看軌迹是什麼）。我這裡用GeoGebra（這是一個免費的在線數學繪圖工具，你輸入函數或者方程，它就會自動把對應的圖像畫出來，有興趣大家自己也可以去畫一畫）給大家畫了一個圖，大家可以看看，雙曲線大緻就是這麼一個形狀：

我們先甭管雙曲線在歐式幾何裡的各種幾何意義，我們是怎麼得到這個圖的？我們是在闵氏幾何裡找距離原點距離相等（這裡等于2）的點的集合，也就是說，你别看這個曲線是彎彎曲曲的，但是在闵氏幾何裡，這個曲線裡所有的點到原點的距離都是相等的，都等于2。

因為這種曲線上所有點到原點的距離都相等（闵氏幾何下），所以我們就可以用這種曲線當作一個标準來校準，這就是把它叫校準曲線的原因。還是那個尺縮效應的圖，這次我們用校準曲線來看一下。

大家看到，我加了一條過a點的校準曲線，我們假設它跟x’軸交于c點。這樣就非常清楚了，什麼是校準曲線？校準曲線就是闵氏幾何裡到原點的距離都相等的點，因為a和c都在曲線上，所以，在闵氏幾何裡oa和oc的長度是相等的，也就是oa=oc。而b、c兩點都在x’軸上，很顯然的ob<oc，合起來就是ob<oc=oa，那我們就很自然地得到了ob的長度比oa更短的結論。

而oa就是在靜止的地面系觀測得尺子的長度，ob是在相對尺子運動的火車系上觀測到尺子的長度。我們得到的結論是ob<oa，這不就是說在運動的參考系裡觀測到的尺子的長度更短麼？完美符合尺縮效應的結論。

在狹義相對論裡經常跟尺縮效應一起出現的還有一個鐘慢效應，它說相對鐘運動的參考系觀測鐘會覺得它走地更慢一些，也就是動鐘變慢（這個不同于廣義相對論裡引力鐘慢效應說的引力越大，時間越慢）。但是鐘慢效應和尺縮效應在時空圖的處理上是類似的，所以我這裡就不說了，大家可以自己去畫一下，想知道答案的可以參考梁燦彬老師《從零學相對論》的4.2節（沒有資料的可以在公衆号後台回複“梁燦彬”或“梁老師”，獲取《從零學相對論》 《微分幾何入門與廣義相對論》以及梁老師配套的的教學視頻）。

接下來，我們來看一個狹義相對論裡讓無數新人頭痛不已，也讓無數科普者無比心煩的一個問題。這個問題用幾何語言處理極為簡單，但是讀者不認，他們不太了解闵氏幾何，更無法理解幾何圖形裡代表的物理實質，你憑什麼用這個這個就代表了那個那個？但是，這個問題如果用傳統的代數語言講就極為複雜，而且邏輯非常繞，一不小心就在各種相對裡面把自己都繞進去了，分析它簡直是對智商極大的挑戰。沒錯，這就是大名鼎鼎的“雙生子佯謬”問題。

雙生子佯謬的描述倒是非常簡單：假設地球上有一對雙胞胎，有一天哥哥駕着宇宙飛船去太空裡裡飛了一大圈再返回地球。那麼按照狹義相對論，我們就會發現哥哥再次回到地球的時候他會比弟弟更年輕。比如說，哥哥從地球出發的時候，這對雙胞胎都是20歲，現在哥哥在太空飛了一圈再回來之後，有可能弟弟已經30歲了，哥哥才25歲。當然，這個具體的數字依賴于特定的飛行情況，但是哥哥肯定會比弟弟年輕這是一定的。

這個問題的争議點在哪呢？它争議就争議在：狹義相對論裡有鐘慢效應，也就是說運動的物體他的時間會變慢。那麼似乎可以說哥哥離開地球在太空裡運動了一圈，所以哥哥是運動的，那麼哥哥的時間會變慢，回到地球更年輕好像說得通。但是，運動不是相對的麼？你站在地球上覺得是哥哥在動，那麼我站在飛船的角度來看，我也可以覺得是弟弟（包括整個地球）在遠離我然後靠近我，那麼運動的那個人就是弟弟，因此弟弟的時間更慢，兄弟見面的時候應該弟弟更年輕。這樣不就前後矛盾了麼？

雙生子問題是一個佯謬，佯謬就是說它看起來是錯的，是矛盾的，其實是正确的。也就是說，如果我們真的有這樣一對雙胞胎，哥哥去外面浪了一圈再回到地球，他是真的會更年輕。但是，這樣的話，我們要如何解釋後面那種矛盾的說法呢？也就是，站在飛船上哥哥的角度看來，運動的是弟弟和地球，為什麼不可以認為弟弟和地球才是那個時間變慢的呢？

有人意識到是加速減速這個過程在作怪，但是加速減速他一樣可以說，我在飛船上看，地球也是加速離我遠去，再加速再回來。然後甚至有人說這裡有加速度，就應該把廣義相對論搬進來解釋，在這條邪路上走地更遠的甚至說：哥哥不是加速運動麼？等效原理說加速度等效于引力，所以哥哥在加速的過程産生了引力，而廣義相對論又說引力是時空彎曲，那麼哥哥加速使得時空彎曲了。

其實，雙生子佯謬不僅是讓許多初學者疑惑，在相對論的幾何語言普及之前，許多物理學家對它也是頭疼不已。他們到了20世紀50年代還在吵這個，物理學家們吵就不是像我們這樣在群裡或者論壇裡發表一下意見看法，他們是發文章到《自然》、《科學》這樣的頂級學術雜志裡吵，所以你可以想象一下那時的情況。但是，當幾何語言普及之後，物理學界幾乎就沒人再因為這個争論了，因為在幾何語言下，這個問題簡直簡單得不像話，它就跟2 2=4一樣清晰簡單，那還有什麼好吵的。

為什麼幾何語言可以如此大幅度的降低雙生子佯謬的難度呢？這裡就涉及到了學習相對論裡最重要的一個事：學習相對論最重要的就是要分清楚相對論裡哪些東西是相對的，哪些是絕對的。你要是看這個理論的名字叫相對論，就認為什麼都是相對的，那就完了。其實相反，狹義相對論的兩個根基“光速不變”和“相對性原理”都是絕對的：前者說光速是絕對的，後者說物理定律的形式是絕對的，這其實是一個不折不扣的“絕對論”。

我們再回過來想一想，雙生子佯謬到底為什麼這麼麻煩？不就是因為濫用相對，認為什麼都可以相對，所以站在哥哥的立場和弟弟的立場應該都一樣從而導緻了佯謬麼？那為什麼我們用幾何語言可以輕松把這個問題理清楚呢？因為我們在使用幾何語言的時候，我們是把時3維空間和1維時間看做一個整體的4維時空。用3維眼光看世界，3維空間和時間都是相對的，但是4維時空确是絕對的。當我們站在更高的維度（4維時空）裡看問題的時候，那些因為相對産生的各種問題就自然消失了。所以，使用幾何語言思考相對論，是站在更高的維度上看問題，這是一種思維方式上的降維打擊。看過劉慈欣《三體》的同學，想必都對降維打擊産生的效果印象深刻，學習相對論，我們也要盡快提高自己的維度~

如果想體會一下3維語言處理雙生子問題的複雜度，可以看看我之前寫過的一篇《雙生子佯謬過程全分析》，其處理問題之麻煩，邏輯之燒腦簡直滅絕人性。雖然我已經盡量清晰通俗的語言來說這個問題了，但是讀者的問題還是跟雪花一樣飛過來。最開始我還比耐心的一個個在群裡解釋，後來就實在受不了了。要跟人把這個問題徹底解釋清楚，少則一兩個小時，多則一下午，太費時費精力了。而且，後面要理解許多人的問題都非常困難，因為要提出一個正确的相對論的問題也需要一定基礎，有些同學相對論的基礎知識不牢，提的問題都是問題，那還怎麼去理解雙生子佯謬呢？

這就像是遊戲裡剛出來就要去打終極BOSS，下場自然可想而知，這也是我為什麼現在就這麼着急的來講幾何語言的一個原因：我實在不想再回答3維語言的雙生子問題了。而且，把自己局限在這幾個效應佯謬裡，也不是什麼好事，因為講相對論的人雖然經常講這個幾個東西，但是這些東西絕非相對論的精髓，大家早點從這些框框裡跳出去，去感受一下相對論裡更精妙的東西才是好事。

好，我們下面來看看從幾何語言是如何降維解決雙生子佯謬的問題的。我們先假設地球做慣性運動（忽略地球自轉和引力場什麼的），以地面系為基準系，我們在時空圖裡畫一畫哥哥和弟弟的世界線。

弟弟的世界線簡單，因為他一直待在地球沒動，所以他在空間坐标裡沒動，流逝的隻有時間。那麼，弟弟的世界線就是一條跟t軸平行的直線。

哥哥的世界線稍微複雜一點，但是也很容易。哥哥從地球出發，去太空浪了一圈再返回地球，這其中的過程無非是先加速遠離地球（加速之後有沒有勻速我們都不管了），太空裡飛了一段時間要掉頭返回地球，那麼其中必定先減速，再反向加速駛向地球，最後還要減速降落在地球上。因為勻速運動的世界線是一條斜直線，那麼加速運動的世界線就是曲線了，這曲線大緻就是下面這個樣子。

我們用a表示哥哥離開地球這個事件，b表示哥哥返回地球跟弟弟見面這個事件，那麼這個時空圖就大緻是下面這樣的：

問題來了，時空圖在這裡，哥哥弟弟的世界線也都畫出來了，那麼如何從圖中判斷哥哥弟弟誰更年輕呢？時空圖裡縱軸是時間軸，單從時間軸來看，哥哥和弟弟的世界線在時間軸的投影剛好是一樣長的，那麼是不是這樣就代表哥哥弟弟經曆的時間是一樣長的呢？如果他們經曆的時間一樣，那麼重逢時哥哥弟弟的年齡就應該一樣大啊，那怎麼還會有雙生子佯謬呢？這顯然跟事實不符。

那麼這個時間到底要怎麼看呢？我們先來想一想，我們要判斷地球重逢時誰更年輕，其實就是判斷在事件a和事件b之間哥哥弟弟誰自己經曆的時間更長，我這裡特别強調是自己經曆的時間，為什麼要這樣強調？在牛頓力學裡，時間是絕對的，全世界的人都共用一個時間，因此這麼說是多餘的。但是在相對論裡時間是相對的，不同參考系對時間的測量也是不一樣的（正因如此洛倫茲變換裡兩個系的時間t和t’是不相等的），那麼在哪個參考系測量的時間可以表征一個人的真實年齡變化呢？或者換句話說，哪個時鐘可以表征一個人年齡的真實變化呢？

答案顯而易見：隻有一直跟自己處于同一個參考系的時鐘測量的時間才是自己年齡變化的真實時間。也就是說，隻有我口袋裡那塊表的走時才是真正跟我的年齡增長對應的，我們把這個自己随身攜帶的時鐘測量的時間稱為固有時。相對論裡時間是相對的，倫敦的那口大笨鐘跟我不在一個參考系，憑什麼說它的走時測量的是我的時間？

想通了這點，上面的事情就好理解了：我們把哥哥和弟弟的世界線都投影到時間軸，這其實得到的是地面系的時鐘測量哥哥弟弟經曆的時間，這鐘相等沒有任何意義。我們得用地面系的時鐘測量弟弟的時間，再用飛船系的時鐘（也就是哥哥随身帶的時鐘）測量哥哥經曆的時間，也就是哥哥的固有時，這樣對比才行。

那麼問題來了：根據時空圖和世界線，我們要如何得到哥哥的固有時呢？

在這裡，我先給出這個極為重要的結論：世界線的線長等于固有時。

這句話很短，意思卻很明确，他就是告訴我們時空圖裡那個粒子的世界線的線長就表征了粒子的固有時，也就是跟粒子一直保持相對靜止的時鐘測量的時間。在上面的雙生子佯謬的時空圖裡，哥哥和弟弟的世界線都畫出來了，那麼我們可以求出他們的線長。現在你說世界線線長等于固有時，那我們要比較哥哥弟弟的固有時，直接比較他們的世界線線長就完了。

所以，如果我們知道上述結論，那麼雙生子佯謬這個問題就簡化為比較哥哥和弟弟世界線的線長，誰的長一些誰經曆的時間就多一些，那誰就更老，那問題就相當簡單了。因此，現在問題的關鍵就是如何理解上面的結論：為什麼在闵氏時空裡世界線的線長會等于固有時呢？

這個事情我們可以這樣理解：固有時是什麼？固有時就是自己随身帶的時鐘測量的時間，說得再準确一點，那就是跟自己一直處在同一個參考系裡的時鐘測量的時間。因此，如果一個時鐘始終跟你處在同一個參考系裡，它自然覺得你一直是靜止不動的。比如，在飛船裡的哥哥雖然要經曆加速減速運動，還可能在宇宙裡各種浪，但是在飛船裡的人和時鐘看來，哥哥一直坐在那裡沒動。

那麼，重點來了：時鐘覺得你不動，其實是覺得你在空間裡沒動，也就是說覺得你在空間上的位移為零。那麼，你在時空（時間 空間）裡移動的間隔就将全部由你在時間上的間隔貢獻（因為空間沒動，間隔為0）。

什麼意思？我們再來理一下時空間隔這個概念：狹義相對論統一了時間和空間，用時空圖上的一個點表示發生在某個時間某個空間上的一個事件，那麼兩個事件肯定就表示為時空圖上的兩個點，那麼這兩個點之間的距離（闵氏距離）就是這兩個事件的時空間隔。而且，我們還反複強調了，闵氏幾何裡的時空間隔，就跟歐式幾何裡的空間間隔一樣，它是不會随着參考系的變化而變化的。也就是說，隻要發生了兩個事件，那麼不管我是在地面系看，還是在飛船系看，這兩個事件信息雖然不一樣，但是它們的時空間隔一定是一樣的。

在歐式幾何裡，歐式線元是dl²=dx² dy²，所有在x軸上相隔dx，y軸上相隔dy的兩個點的空間間隔，或者說空間距離也就是dl²=dx² dy²。同樣的道理，在闵氏幾何裡，闵氏線元是ds²=-dt² dx²，所以，在時間上和空間上分别相差dt、dx的兩個事件，它們之間的時空間隔也就是 ds²=-dt² dx²。

我們現在想知道固有時，也就是想知道跟自己處在同一個參考系裡的時鐘的走時。上面我們已經分析了，在自己所處的參考系裡，肯定覺得自己是靜止的，也就是空間間隔dx=0。因為時空間隔是ds²=-dt² dx²，把dx=0代入進去我們就能得到ds²=-dt²。這就是在上面說的，自己參考系裡的時空間隔全部由時間間隔貢獻的意思。

有了ds²=-dt²，事情就明朗了：dt就是在自己所在參考系裡的時間流逝，而ds是時空間隔，也就是時空圖上兩點的距離。這個微分符号d就是在告訴我們這是兩個間隔無窮小的事件，如果我們把許多無窮小的這種事件累積起來（也就是對ds²=-dt²做積分運算），那麼dt累積起來就是時鐘流逝的時間，也就是固有時；而把ds累積起來，也就是把所有相鄰時空點之間的距離累積起來，那得到的就是時空圖裡這條世界線的長度。

這就無可辯駁的向我們證明了：世界線的長度等于固有時。

其實，隻要我們理解自己相對于自己所在的參考系肯定在空間上是靜止的，所以時空間隔全部由時間間隔貢獻。而時空間隔就是時空圖裡兩點的距離，這個距離累積起來就是世界線的長度，而時間間隔累積起來自然就是這個參考系裡流逝的時間就行了。上面做的各種簡單的計算，無非就是從數學上更加嚴格地證明了這一點而已。

想通了這點就會覺得其實“世界線長等于固有時”是很正常的事情，在一些相對論的教材裡，他們甚至直接拿這個來定義标準鐘的。也就是說，他們在教材不會向你解釋為什麼“世界線長等于固有時”，而是直接告訴你“隻有世界線的線長等于固有時的鐘才是标準鐘”，才是準确的鐘，否則你的鐘是有問題的。可見，在大家眼裡，這個結論實在是非常自然的。

好了，如果我們能夠理解“世界線的線長等于固有時”，那麼困擾大家多年的雙生子佯謬就瞬間變成了一個極其簡單的問題。我們再來看看雙生子佯謬的時空圖：

比較哥哥弟弟重逢時誰的年齡更大，就是比較他們兩個的固有時，就是比較哥哥和弟弟世界線的線長。那麼，他們兩個的世界線誰的更長一些呢？

其實這根本都不用定量的去計算，一眼就能看出弟弟的世界線更長，因為闵氏幾何裡線段長度是時間和空間項的平方相減之後再開方得到的。這個求線段距離的公式我們前面也說了，其實就是闵氏線元稍微處理一下，如下圖：

所以，如果兩條線在時間軸上長度一樣（比如哥哥和弟弟的時間都是從a到b），那麼在空間上走的越多的它的總線長就越短。弟弟靜止沒動，他的世界線是完全平行于t軸的，在x軸上都沒有任何分量，也就是Δx=0，所以他的世界線肯定是最長的。哥哥因為去太空飛了一圈，所以空間上的分量Δx>0，那最終得到的S的值肯定就比弟弟更小了。

我們可以想象一個最極端的情況，我們假設哥哥以光速運動，那麼它在空間上走的距離就最大。而我們知道光子的世界線長度為0，所以這時候哥哥的世界線長度就是最小值0了，0肯定比弟弟的世界線長度更小吧。

如果大家對這種粗略的讨論不放心，我們可以換種更精确的方式讨論。如下圖，我們把弟弟和哥哥的世界線用很多平行于x軸的虛線分隔開，如果我們的分割線足夠多，那麼在每一個小段裡哥哥的世界線就可以近似看做一條斜直線，而它的線長是顯然比弟弟世界線裡的那一小段短的（這我們在上面已經給過結論了）。由于每一小段裡哥哥的世界線都更短，那麼累加起來的總世界線肯定還是更短了。

總之，大家如果理解闵氏時空的線長計算公式，我相信理解哥哥的世界線更短是非常容易的，而世界線更短就意味着自己經曆的時間（固有時）更短，那麼重逢時哥哥就更年輕。這樣，雙生子佯謬就是很明顯的事情了。

于是乎，我們發現讓我們頭疼不已的雙生子佯謬就這樣被解決了。在幾何語言裡，複雜的雙生子問題被簡化到僅僅比較一下哥哥弟弟兩條世界線的線長就行了，而隻要我們理解在闵氏幾何裡計算線長要用闵氏幾何的方式（ds²=-dt² dx²）去度量就沒什麼問題了。其實，你也不用覺得奇怪，把代數問題幾何化之後帶來問題難度的大幅度降低并不是什麼奇怪的事情，我們在初中高中的數學裡，不也經常借助畫圖去理解函數、方程的性質麼？

這樣處理問題簡單是簡單了，但是細心的人還是會有疑慮，他覺得：雖然你在這個以地面為基準系的時空圖裡确實嚴格地證明了哥哥的世界線更短，所以回來的時候更年輕。但是我如果不以地面系為基準系呢？我在其他的參考系裡來看，來畫時空圖，比如我要是站在哥哥飛船的視角來畫時空圖，那結果會不會又不一樣呢？因為說到底，大家覺得雙生子佯謬難以理解，就是因為你可以站在弟弟的角度，也可以站在哥哥的角度，這樣一相對就沒完沒了了。

這在以前的思維裡确實是大問題，但是，在幾何語言裡這确不是問題。為什麼呢？因為線長是一個幾何量，這種幾何量是不會随着坐标系的變化而變化的（因為它們是根據線元定義的，而線元在不同的坐标系裡都是一樣的），也就是跟坐标系的選擇無關。這一點我們在二維歐式幾何裡也可以非常清楚地感覺到：你在二維歐式平面裡有一條線段，那麼這條線段的長度就是固定的。不管你是上下左右的移動這個直角坐标系，還是順時針逆時針旋轉這個直角坐标系，線段的長度始終都是一樣的，這一點相信大家不難理解。

那麼，同樣的，在闵氏幾何裡，不論你選擇哪個慣性系作為基準系，一條世界線的線長都是一樣的。也就是說隻要哥哥的世界線在一個參考系裡比弟弟的世界線短，那麼再所有的慣性參考系裡都比弟弟的世界線短。這就跟在歐式幾何裡一根木棒隻要在一個直角坐标系裡比另一根木棒長，它在所有的直角坐标系裡都比那根木棒長一樣的道理。

其實，我們再仔細想一下，當初我們為什麼選擇闵氏幾何來描述狹義相對論？不就是因為我們發現了在洛倫茲變換下，也就是在慣性參考系之間不論怎麼相互轉換，ds²=-dt² dx²作為一個整體它的值是不變的麼？然後我們以ds²=-dt² dx²為線元建立了闵氏幾何，而在闵氏幾何裡曲線的長度就是根據這個線元來定義的。所以，世界線的長度在闵氏幾何不同的參考系裡肯定就是一樣的，我們也壓根沒必要舍近求遠，去選擇更複雜的參考系給自己找不痛快。

這樣，我們就能消除那個疑惑，放心大膽的說哥哥的世界線更短了。于是，用闵氏幾何讨論雙生子佯謬的問題就全部結束了。其實，隻要把幾個關鍵的彎轉過來，你就會發現雙生子佯謬其實是非常簡單的一個問題，它完全不值得我們花費那麼多的時間精力在這裡繞來繞去（這個問題跟薛定谔的貓在社群裡并稱兩大月經問題），但是不使用幾何語言，這好像也是沒辦法的事，太複雜了。相對論還有非常多精彩的東西等着我們去探索發現，在雙生子這棵小樹上把自己吊死了豈不可惜？闵氏幾何雖然看上去有點怪異，但是當我們順着思路慢慢看的時候，就會發現它其實也沒那麼奇怪，它不過就是在歐式線元的前面加了一個負号而已，其他的邏輯跟歐式幾何都幾乎是一模一樣的。

文章到這就先告一段落，能夠堅持看到這裡的那妥妥的都是真愛了。我寫這篇文章主要是想讓更多人了解闵氏幾何，了解闵氏幾何是如何處理狹義相對論裡的問題的，最好是讓讀者能開始習慣用幾何語言讨論相對論問題。

所以我不能直接給你下定義，然後告訴你如何用闵氏幾何處理這個那個問題，因為這樣很多人會不服氣，憑什麼相對論的問題可以轉化成這樣的幾何問題？為什麼闵氏幾何裡的這個就對應了相對論裡的那個問題？因為闵氏幾何并沒有那麼直觀，你把狹義相對論翻譯到闵氏幾何并不像我們把一個圖形畫到黑闆上那麼顯而易見，所以我必須先把自己的知識清空，從頭從零一點點的開始講，讓大家自然的切換到闵氏幾何中來。于是，文章就不可避免的長了起來。

另一方面，我這隻是科普性質的文章，重點是想讓大家了解闵氏幾何處理狹義相對論問題的核心思想，因此，我不會像教科書一樣把各個概念和術語都寫出來。相反，為了降低大家理解的難度，能不用術語的地方我盡量不用術語，能不寫公式的地方盡量不寫公式，我這真的隻是一個闵氏幾何的入門篇。大家如果想更全面深入的了解相關内容，可以去找專業的闵氏幾何和相對論的教材，這裡我還是推薦北京師範大學梁燦彬老師的《從零學相對論》（入門篇）和《微分幾何入門與廣義相對論》（高級篇），需要這兩本書的電子版和配套教學視頻的，可以在後台回複“梁燦彬”或者“梁老師”。把我這篇文章看懂了，再去看《從零學相對論》應該會很容易，更深入的問題我們後面再說。

最後，長尾君希望大家能和闵氏幾何搞好關系，畢竟後面還有更多更精彩的話題都指着它呢~

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