1. ⑴第一數學歸納法：①證明當n第一個n0時結論正确；②假設當n=k（k∈N ,k≥n0）時，結論正确，證明當n=k 1時，結論成立.

⑵第二數學歸納法：設P(n)是一個與正整數n有關的命題，如果

①當n=n0（n0∈N ）時，P（n）成立；

②假設當n≤k（k∈N ,k≥n0）時，P(n)成立，推得n=k 1時，P(n)也成立.

那麼，根據①②對一切自然數n≥n0時，P(n)都成立.

2. ⑴數列極限的表示方法：

①

②當n→∞時，an→a.

⑵幾個常用極限：

①

（C為常數）

②

③對于任意實常數，

當|a|<1時，

當|a|=1時，若a = 1，則

；若a=-1，則

不存在

當|a|>1時，

不存在

⑶數列極限的四則運算法則：

如果

，那麼

①

②

③

特别地，如果C是常數，那麼

⑷數列極限的應用：

求無窮數列的各項和，特别地，當|q|<1時，無窮等比數列的各項和為S=a₁/(1-q)(|q|<1).

（化循環小數為分數方法同上式）

注：并不是每一個無窮數列都有極限.

3. 函數極限；

⑴當自變量x無限趨近于常數x0但不等于x0）時，如果函數F(x)無限趨進于一個常數a，就是說當x趨近于x0，函數F(x)的極限為a.記作

或當x→x0時，F(x)→a.

注：當x→x0時，F(x)是否存在極限與F(x)在x0處是否定義無關，因為x→x0并不要求x=x0（當然，F(x)在x0是否有定義也與F(x)在x0是否存在極限無關＝＞函數F(x)在x0有定義是

存在的既不充分又不必要條件.）

如

在x=1處無定義，但

存在，因為在x=1處左右極限均等于零.

⑵函數極限的四則運算法則：

如果

，那麼

①

②

③

特别地，如果C是常數，那麼

注：①各個函數的極限都應存在.

②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況.

⑶幾個常用極限：

4. 函數的連續性：

⑴如果函數f（x），g（x）在某一點x=x0連續，那麼函數f(x)±g(x),f(x)·g(x),f(x)/g(x)(g(x)≠0)在點x=x0處都連續。

⑵函數f（x）在點x=x0處連續必須滿足三個條件：

①函數f（x）在點x=x0處有定義；

②

存在；

③函數f（x）在點x=x0處的極限值等于該點的函數值，即

⑶函數f（x）在點x=x0處不連續（間斷）的判定：

如果函數f（x）在點x=x0有下列三種情況之一時，則稱x0為函數f（x）的不連續點.

①f（x）在點x=x0處沒有定義，即f(x0)不存在；

②

不存在；

③

存在，但

5. 零點定理，介值定理，夾逼定理：

⑴零點定理：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)<0.那麼在開區間(a,b)内至少有函數f(x)的一個零點，即至少有一點ζ（a＜ζ<b）使f(ζ)=0.

⑵介值定理：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且在這區間的端點取不同函數值,f(a)=A,f(b)=B，那麼對于A,B之間任意的一個數C，在開區間(a,b)内至少有一點ζ，使得f(ζ)=C(a<ζ<b).

⑶夾逼定理：設當0<|x-x0|<σ時，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且

，則必有

注：|x-x0|：表示以x0為的極限，則|x-x0|就無限趨近于零.（ζ為最小整數）

6. 幾個常用極限：

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