"傅裡葉"這個名字，相信很多人聽到之後，一定都會覺得血液凝固、兩腿發抖……，在通信專業大學生"恐懼"排行榜中，相信傅爺一定穩居前三。傅裡葉變換、傅裡葉積分、傅裡葉級數，傅裡葉分析……每一個都會讓人陷入極度的痛苦之中無法自拔……

我想，已經接觸到連續時間傅裡葉級數的同學都會發現，此文雖然有其新穎之處、雖然被作者定調為讓人"在不看任何數學公式的情況下理解傅裡葉分析"，但離透徹理解傅裡葉級數還是有着不小的距離。

傅裡葉（Fourier, Baron Jean Baptiste Joseph, 1768—1830）的漢語譯名有12種之多，傅、富，裡、立，葉、埃、哀的不同排列的譯名均見到過。他于3月21日出生在法國奧塞爾（Auxerre）城的一個裁縫家庭，八歲時父母雙亡成了孤兒。他是在由本尼迪克丁（Benedictines）領導的地方軍事學校中受的教育。由于他是裁縫的兒子，所以不能在軍隊中取得軍官資格；但由于他學習成績優異，所以還是讓他在軍校當上了數學教師。後投身法國大革命事業，并得到了巴黎高等工藝學院教授的職位。1801—1815年他同數學家蒙日（Mnge, Gaspard, 1746—1816）一起随拿破侖到埃及進行科學考察，1798年他被任命為下埃及的地方行政長官。1816年遷往巴黎，1817年被選為科學院院士。

傅裡葉的重大成就起自1807年12月21日法國科學院的一次注目的會議上，他在會上宣讀的論文，寫下了數學史上的新篇章。

論文宣布了如下驚人的事實：在有限閉區間上由任意圖形定義的任何函數都可以分解為單純的正弦和餘弦函數的和。特别定義在（-π, π）上的函數總可表示為

這裡ai、bi（i=0, 1, …）是一些适當的實數。此級數稱為三角級數。

院士們不太相信傅裡葉宣布的事實。論文由拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審，結果被否決了。但為了鼓勵傅裡葉更嚴密地發展他的思想，把他的課題定為1812年頒發的大獎課題。1811年他呈交了修改好的論文，得到了包括如上三人在内的評審小組的基本肯定，并獲得了獎金。但是，仍指出了缺乏嚴密性的批評。沒有刊登在科學院的《報告》（Memoires）上。

傅裡葉對此很感憤慨，但他繼續進行關于熱的研究，對（*）式子換一下寫法，傅裡葉級數的公式或許直觀一些。

很多大學生不客氣地說，這個公式可以說是像"臭婆娘的裹腳布——又臭又長"，而且來曆相當蹊跷，不知那個傅裡葉什麼時候靈光乍現，把一個周期函數f(t)硬生生地寫成這麼一大堆東西。單看那個①式，就是把周期函數f(t)描述成一個常數系數a0、及1倍ω的sin和cos函數、2倍ω的sin和cos函數等、到n倍ω的sin和cos函數等一系列式子的和，且每項都有不同的系數，即An和Bn，至于這些系數，需要用積分來解得，即②③④式，不過為了積分方便，積分區間一般設為[-π, π]，也相當一個周期T的寬度。

③④稱為f（x）的傅裡葉系數，有了此系數的三角級數稱為傅裡葉級數。

若f（x）是定義在〔-l, l〕上的函數，則

當l→ ∞時，傅裡葉作出了卓越的獨創發明，那就是傅裡葉積分。

在電子學中，傅裡葉級數是一種頻域分析工具，可以理解成一種複雜的周期波分解成直流項、基波(角頻率為ω)和各次諧波(角頻率為nω)的和，也就是級數中的各項。一般，随着n的增大，各次諧波的能量逐漸衰減，所以一般從級數中取前n項之和就可以很好接近原周期波形。這是傅裡葉級數在電子學分析中的重要應用。

可以說，通信專業大學生當年一打開《信号與系統》、《鎖相環原理》等書籍，動不動就跳出一個"傅裡葉級數"或"傅裡葉變換"，弄一長串公式，讓人雲山霧罩。但傅裡葉級數在數論、組合數學、信号處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有着廣泛的應用，這不由得讓人肅然起敬。我詢問過學習過這部分内容的大學生，他們認為這部分材料非常有趣。

1822年，傅裡葉出版了專著《熱的解析理論》。這部劃時代著作将歐拉、伯努利等數學家在一些特殊情形下應用三角級數的方法發展成一般性的理論框架，三角級數後來就以傅裡葉的名字命名。1822年傅裡葉擔任科學院院終身秘書，而後又擔任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務委員會主席，被敕封為男爵。傅裡葉應用三角級數解決熱傳導方程，為了解決無窮區域的熱傳導問題推導出時稱的"傅裡葉積分"，這都極大地推動了偏微分方程邊值問題研究。

實際上傅裡葉的工作意義遠不止此，它迫使數學家對函數概念作修正、推廣，尤其引起了對不連續函數的探讨；三角級數的收斂性問題直接引起了集合論的誕生。因此《熱的解析理論》創立的一套數學物理理論，對19世紀分析嚴格化的進程和後來的數學和物理科學的發展産生深遠影響。

由于數學物理學家傅裡葉極度癡迷熱學，他認為熱無所不能、包治百病。1830年的夏天注定不平常，傅裡葉關上家中的門窗，穿上厚厚的衣服，坐在火爐邊，結果因一氧化碳中毒不幸身亡，一顆閃亮的星就以這樣的方式（熱死了）隕落了，于1830年5月16日卒于法國巴黎。

科學家麥克斯韋（Maxwell, 1831—1879）稱傅裡葉的論文是一首偉大的數學詩。初學傅裡葉級數的人或許還沒有體會到詩的韻味，當你深入到那幽幽振蕩的級數中去以後，親自做過一些習題之後，就會似乎感到了詩的節律，筆者作為數學專業畢業的若有所感，直到現在還給我留下學習高數的陰影，不知讀者有無嗅到。

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